Лекция№6 Числовыефункции

Втеориичиселестьрядчисловыхфункцийзависящихотнатуральныхчисел.Мырассмотримрядтакихфункций,которыенаходятширокоеприменениекаквкриптоалгоритмахтакивкриптоанализе.

ФункцияЭйлера

Имеетсяцелое,положительноечислоm.Ономожетбытькаксоставным,такипростым.

ФункциюЭйлерапринятообозначать,практическивовсехучебникахкак:

Назначениефункции:

Допустим,мыимеемчислоm–натуральное.Рассмотримнаосивсечисла.

1,2,3,4…. m-1 m

Вопрос:

Сколькочиселвдиапазонеот1доm-1(m),являютсявзаимнопростыми?(имеютсmНОД=1)

(a,m)=1–должныбытьвзаимнопростыми.(должныбытьвзаимнопростымисm)

Еслиm=p,товзаимнопростыхбудетp-1.Т.к.есличислоm-простое,товсечислаявляютсядлянеговзаимнопростыми,исключаясамочислоm.

Нуаесличислоmсоставное?

Эйлерустановилтакуюзакономерность,чтосуществуетопределеннаяформула,покоторойможновычислитьчисловзаимнопростых.(самыйпростойспособэтоперебор).

Этаформулаопределяетсянаосноверазложениячислаm.

-раскладываемнапростыесомножители.

Теперьнадоиспользоватьтолькоразличающиесясомножители.Пример:

60 2

30 2

15 3

5 5

m=60=2*2*3*5;вканоническомвиде-2²*3*5: p₁=2; p₂=3; p₃=5;Содержательно,ФункцияЭйлераустанавливаетчисловзаимнопростыхчиселсзаданнымчисломm.

Есливсесомножителиразные,тоэтооднаформулавычисленияфункцииЭйлера,аесликаноническая,тоформулуможновыразитьеечерезпоказатели.

Этидвеформулымыирассмотрим.

Пустьразложениечислоmтакое,чтовсесомножителиразные.

_{I)Участвуетсамочислоm,затемследуетрекуррентноевыражение:}

Внашемслучае:

_;

Значит,от1до60находятся16взаимнопростыхчиселсчислом60.II)

Внашемслучае:

ОтметимприложениефункцииЭйлеравкриптографии.

Вкриптографиичастонадовычислять,шифроватьпонекоторомумодулю.Модульможетбытькаксоставнымтакипростым.Когдамодульсоставноечисло,тогдаииспользуетсяфункцияЭйлерадляоднозначногошифрования.Тамосуществляется,преобразованиесмножествомчисел,которыеявляютсявзаимнопростымивзаданноммодулемдиапазоне.

Классическое(наиважнейшее)приложениеэтойфункциитакое:

Заданнонекотороенатуральноечислоaизаданнонекотороечислоm,пустьm-составное,натуральное,положительное.Еслиэтидвачиславзаимнопросты,тогдадляэтойпарычиселсправедливаследующаятеорема(теоремаЭйлера):

Беремчислоa,возводимв ,береммодульот т.е.остатокбудетравенвсегдаединице.

Частныйслучай:m-простое(p),то:

ЭтотеоремамалаятеоремаФерма.

Допустимеслиавнедиапазона(a>m),

еслиаиm–взаимнопростытобудетсправедливоидляэтогослучая.

Аеслиm–простое(р),тоанедолжноделитсянар.Т.е.еслиаделитсянар,тоэтоуженесоответствуетопределениювзаимнопростыхчисел.

Мультипликативнаяфункция

Имеемдванатуральныхчислаaиb,еслионивзаимнопросты,томультипликативнаяфункцияустанавливаетчисловзаимнопростыхчисел,дляпроизведениедвухвзаимнопростыхчиселпоформуле:

т.е.прибольшихaиb,этаформулапозволяетуменьшитьвычислительнуюсложность.

Ноесличислаaиbневзаимнопростые,товычисленияпроводятсяпообычнойформуле.

Пример:

a=60b=11.60и11–взаимнопростые.

Какмыужевыяснили,для60числовзаимнопростыхчиселравно16,адля

11равно10.

т.е. .