Лекция8 Сравнимостьпомодулю.Модулярнаяарифметика

Понятие«модулярнаяарифметика»ввелнемецкийученыйГаусс.

Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: онакоммутативна,ассоциативнаидистрибутивна.

Подоперациейamodmпонимаетсяоперациявзятияцелочисленногоостаткаотделениячислаaначислоm,гдеaиm-целыечисла.

Записьвмодульнойарифметике

a≡bmodm

читаетсякак"aсравнимосbпомодулюm".Спомощьюзнакаравенстваэтуоперациюможнозаписатькак

a=b+k·m,

гдеa,b,m-целыечисла,m≠0,k-некотороецелоечисло.

Отсюдаследует,чтоmделит(a-b)нацело:

m|(a-b) или (a-b)modm=0.

Числоbназываютвычетомчислаaпомодулюm.

Операцияamodmназываетсяприведениемчислаaпомодулюmили

приведениемпомодулю.

Пример1.7.Вычислить(3+14)mod12.

Получим(3+14)mod12=17mod12≡5или17≡5mod12.Тоестьчисло5являетсявычетомчисла17помодулю12.

Рядцелыхчиселот0до(m-1)называетсяполнымнаборомвычетовпомодулю m. Для любого целого a (a>0) его вычет r по модулю m

принадлежитинтервалусистемы

r0,m1.Числоrможнонайтипереборомиз

_{rakm}

_

_ ^{kZ ,}

_

_{перебираявсезначенияk.}

_^r0,m1

_{Например,дляm=13полныйнаборвычетовравен}

_{0,12.Номожно}

_{1 1}

использоватьвычетыивдиапазонецелыхчисел

^r₂^(m1),₂^(m1).

Еслиприводимоечислоявляетсяотрицательным,товыполняетсяегосложениесмодулемm.Например,-5mod7=(-5+7)mod7≡2mod7.

Достоинствамивычисленийпомодулюявляетсяследующее:

-ограничиваетсядиапазонпромежуточныхвеличинирезультата;

-нетребуетсяхранитьбольшиепромежуточныерезультаты.

Свойстваоперацийсравнения

Вкриптографиисуществуютшифрыипопростомумодулюипосоставномумодулю.

Нужнознатькогдаприменятьпростоймодуль,акогдасоставнойикакиеограничениянадовводить,чтобырасшифровкапроводиласьоднозначноСвойствасостоятизтрехгрупп:

I) Свойства,определяемыеотношениемэквивалентности

1)Рефлективность

a≡amodm

2)Симметричность

a≡bmodm,amodb≡m

^a(m)modm≡1

^a(m)≡1modm

3)Транзитивность

Имеем3натуральныхчисла.Рассмотримусловие:Еслиa≡bmodmиbmodc≡m,тоa≡сmodm

II) Свойства сравнимости по модулю 2 аналогичны свойствамравенства

1)Если

a_1≡b1

modmи

^a_1≡^b₂

_modm,то(^a₁₊^a₂₎₌₍

^b₁₊^b_2)modm

2)Если

^a_1≡^b₁

modmи

^a_2≡^b₂

_modm,то(^a_1*^a₂₎₌₍

^b_1*^b₂

modm

3)Еслиa≡bmodm,(k,m)=1,тогда

^a_k=^b_m

modm

4)Еслиa≡bmodm,тогда

_{Справедливоиобратное}

^ak≡bkmodm,гдеk-натуральное.

III) Свойства,отличающихсяотсвойствравенства

5)Имеемa,b–числа,m–модуль

(a,b)≡d–наибольшийобщийделитель

(d,m)≡1,a≡bmodm,тогдаa/d≡b/dmodm

Пример

45≡27mod6

45/9≡27/9mod6

5≡3mod6,поэтомучисла9и6невзаимнопросты

6)b*a≡bmodm,d–такоечтоa/d,b/d,m/da/d≡b/dmod(m/d)

7)(a+b)modm≡[amodm+bmodm]modm

8)a*bmodm≡[(amodm)*(bmodm)]modm

НаосновеэтихсвойствможнодостаточнопростодоказатьтеоремуЭйлеравобщемвиде.

_{ТеоремаЭйлера}

Приложениесвойств

_a(m)

_≡1modm

aиmдолжныбытьвзаимнопростыми.(a,m)=1

ДоказательствотеоремыЭйлера

Пустьданыmиφ(m)=k

_{Имеемчислоa,причем(a,m)=1}

Беремряднатуральныхчисел:

^a_1,^a₂

,….,^a_k

0,1,…m-1–изэтогодиапазоначиселвыбираемвзаимнопростыесмодулем

(kштук)

^aa_1,a*^a_2,…,a*^a_{k–взаимнопростысмодулем}

aa₁

^aa₁

^≡ai1

^≡ai2

modmmodm

_……

aa₁

^≡aik

modm

^ak≡1modm, φ(m)=k

_a^(m)_≡1modm

a≡bmodma≡cmodma≡dmodm

Классывычетов

Сравнимостьпоmodпявляетсяотношениемэквивалентностинамножестве

Zцелыхчисел.

Классамиэквивалентности,называемымиклассамивычетовпоmodп,

являютсяследующиемножества-разбиенияZ:

[О]={...,-2п,-п,О,п,2п,...},

[1]={...,-2п+l,-п+l,1,п+l,2п+l,...},

…

[п-l]={...,-п-l,-1,п-l,2п-l,3п-l,...}.

Замечание.Классчисел,сравнимыхсапомодулюп,совпадаетслинейнойфункциейа+ntприt=0,±1,±2,…

.

Пример1.3.Определимклассывычетовпоmod7:

[0]={...,-14,-7,0,7,14,21,...},[1]={...,-13,-6,1,8,15,22,...},[2]={...,-12,-5,2,9,16,23,...},[3]={...,-11,-4,3,10,17,24,...},[4]={...,-10,-3,4,11,18,25,...},[5]={...,-9,-2,5,12,19,26,...},[6]={...,-8,-1,6,13,20,27,...}.

Числоклассоввычетовсовпадаетсозначениеммодуля

Числочиселвклассебесконечно.

Вкаждомклассесвоичисла–онибольшенигденевстречаются–

пересеченийнет.

Полнаясистемавычетов–когдаизлюбогоклассаберетсяпоодномупредставителю.

Приведеннаясистемавычетов–система,состоящаяизвзаимнопростыхвычетов.