1)ПлотностьпоявленияпростыхчиселназаданноминтервалепадаетсувеличениемN.

Н-р:приN=10унас4простыхчисла(от1до10)(40%)

приN=100 имеем25чисел(1до100)(25%)

приN=1000 около13%

итакдалееплотностьубывает.Темнеменееинтервалырасположениетакихчиселсовершеннонепредсказуемы.Естьчисларасположенныеблизкокдругдругу(5,7;11,13;13,19–простыечислаблизнецы).Причемдосихпорнедоказанобесконечноличислоблизнецовилинет.

Допустимзаданинтервалимыхотимоценитьплотностьвзаданном^{интервале(от1доN).Плотностьопределяетсяпоформуле: -а}симптотическаяплотность.Этоотношениеначинаетхорошопроявляться

прибольшихN.СростомNэтавеличинарастет.

Зафиксируемнекоторыйинтервалнаосиот1доN.потомприбавимнекоторое .Ивотвзависимостиотвеличины существуютоценки,сколькопростыхчиселвинтервалеN+.Проблемазаключалосьвтомчтобыузнатьвеличинуэтогоинтервалачтобывнемнаходилосьхотябыоднопростоечисло.Ещев18векебылаполучена (потомонаконечноуточнялась).Насегодняшнийденьэта имеетвеличину

N N -наэтоминтервалегарантированноестьхотябыодно

простоечисло.

Этосвойствотожеявляетсянепоследнимповажностидлякриптоаналитиков.

Впопыткахоткрытьзакономерностьрасположенияпростыхчиселученныевыяснилиседующие:

Допустиммыимеемпростоечисло11оносостоитиздвухединиц.рассмотримпростыечислапостроенныеизединиц.Выяснимкакоеближайшеепростоечислосостоиттожетолькоизединиц.111–непростое

число.1111-тоженепростое.Числасоставленныеизтрехдовосемнадцатиединицнеявляютсяпростыми.Авотчисло1111111111111111111–простое(состоитиз19единиц).Этотакназываемоевтороепростоечисло.

Третьеэто-11111111111111111111111(23единицы).

Авотчетвертоепростоечислодосихпорищется.Ужеперебраличисласостоящиеиз70единицнопоканенашлипростогочисла.

Т.еимеютсяопределенные«сгустки»простыхчиселнаосикоторыедаютинтересныеформулы,

(допустимеслирасположитьпростыечисланашахматнойдоске,тоонибудутстоятьподиагонали)новцеломоднуформулудлявсехпоканенашли.

ОднаизпроблемныхзадачкоторойзанималисьначинаясФерма,позднее

Эйлер,Гаусс….

какраскладыватьсоставноечисло.Допустимшкольныйметодпроб.Проверяемсначаладелитсялина2,3…..Оннеиспользуетсявшифрованиеиззасвоейочевидности.

_{Пример:}

исходяизэтогочисланамнужноперебратьвседелители,чтобы

_{последнийбыл}

–еслимыненашлиделителейдоэтогочислатопростое.Ночтобынайтиделителивэтоминтервале(насреднемкомпьютере)нампонадобится10⁴⁰секунд.10^8–топримерноеколичествосекундводномгоде.т.е.понадобится10^32летчтобынайтивседелители.

Длясправки:БольшойВзрыв,приведшийкзарождениювселенной,произошелпримерно10^11леттомуназад.Дажееслимывозьмем1000

_{000000компьютеровтонампонадобится10}²⁵_лет.

Вперспективе,наквантовыхкомпьютерахэтоталгоритмнебудетявлятьсяпроблемой.

Существуютопределенныеалгоритмыкоторыеускоряютнахождениепростыхделителей,ноопятьтакиэтозависитотдиапазонывкотороммы

пытаемсяихнайти.ЕщеФермапредложилопределенныйалгоритм.Мырассмотримегомодификациючутьпозже.Онпредназначендляслучаевкогдачислоmимеетхотябыодиннебольшойделитель.НебольшечемкореньизN.

Составныечисламогутиметьзаписьнетольковвидеканоническогоразложения,ноиввидеопределеннойформулы.Например:простейшийполином(одинизинтереснейшихвсовременнойкриптографии).Данонекотороечисло,причемнеизвестнокакоеонопростоеилисоставное.

ионоимеетвзаписьвид:

–полиномстепениn,гдевкачествехвыступает2-ка.

Еслиnнечетное,носоставноетогдачислоmтожесоставное.Ноеслиnнечетное,нопростое,топринекоторыхпростыхnчислоmсоставное,апринекоторыхпростое.Т.е,или/или.Начинаяс17векаэтаформулаизучается.

Вкриптографииэтоодинизпростыхспособовполученияпростыхчисел.Берембольшоеn–простое,ипотомтестируем,полученноеmможетоказатьсяилипростымилисоставным.Простыечислаполучаемыеприnпростыхрасположенынаосиредкимигруппами.ВпервыеэтузакономерностьначализучатьМерсен(18век).Онначалподставлятьвn

2,3,5,7….иполучилрядчисел(дотехпорпокаемубылолегкоэтоделатьнабумаге).Такондошелдоn=257,нооношибся,257–непростоечисло.Подставляя,онполучилряд(причемвнемондопустилрядошибок),которыйвыглядитследующимобразом:

n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,157т.е.тепростыечисла,приподстановкекоторыхвформулу получаемпростоечисло.

Ошибки;

-составное

-составное

онпропустилчисла41,47,61,89инадоубрать67и257.Самоебольшоепростоечислонайденоприn=3021377

самоэтопростоечисло,содержит1819050десятичныхзнаков.Способывозведениевбольшуюстепеньрассмотримпозже.

Фермавыдвинулпредположение,чточисло-являетсяпростым.Ноприk=5–числополучаетсясоставное.Априk=0,1,2,3,4.Идосихпорненайденопростогочислапослеk=5.

Предыдущиеформулыявлялисьэкспоненциальными,носуществуетещеоднаинтереснаяформула:

Праимориальнаяформула.Изшколынамизвестнопонятиефакториал.Онопределяетсякак1*2*3*4*…..*N.Апрамориал-беретсяпростоечислоpинаосновеегосоставляетсяпрамориальнаяформулатакоготипа:произведениепростыхсомножителейдоp(включаяp).2*3*5*7*…*p.прамориалобозначается-p#.

-полученноечисломожетбытькаксоставнымтакипростым.Этаформулатакдоконцаинеисследована.Наосновеэтогопонятия(прамориал)следуетодноизвозможныхдоказательств,котороебылоиспользованоещеЕвклидом,бесконечностипростыхчисел.