Лекцич16 СпособыпредставленияэлементовполяGf(2n)

ДляпредставленияэлементоввполяхГалуавидаGF(2ⁿ)существуютразличныеспособы,образующиеизоморфныеполя:

-полиномиальное;

-стандартныйбазис;

-припомощисопровождающейматрицы;

-параллельныемассивы;

-нормальныйбазис-ввиде:

-значениястепенейпримитивногоэлементаξ,

-степенейпримитивногоэлементаξ.

I.Полиномиальноепредставление.

Каждый элемент GF(2ⁿ) можно представить в виде некоторогомногочлена

f(x)=₀₊₁x+…+_n−1x^n-1, (3.1)

-степениdeg(f(x))≤n-1

-скоэффициентами_iGF(2).

II.Стандартныйбазис(векторноепредставление):

-элементыполязадаютсяполиномамивида(3.1);

-хранятсякоэффициентыполиномаf(x)ввидедвоичноговектора.Используются2методарасположениястаршихстепенейполиномаf(x):

-математическаяформазаписи(записьслеванаправо):

-слеварасполагаетсястаршаястепеньполинома,

-оптимально для операций деления и увеличения степениполиномов;

-обратныйпорядок(записьсправаналево):

-оптимальнодляоперацийумноженияисложенияполиномов.Достоинствамивекторногопредставленияявляетсяследующее:

-рациональноиспользуетсяпамять,

-простотавыполненияоперацийсложенияивычитанияполиномов

(например,нарегистровыхструктурах).

Недостаткомвекторногопредставленияявляетсято,чтотребуетсядополнительноевремяЭВМдлявыборкикоэффициентов,таккакобработкаданныхвЭВМвыполняетсябайтами,анебитами.

Операцияполучениябинарногокоэффициентаполиномареализуетсяследующимобразом:

1)находитсябайт,содержащийтребуемыйкоэффициентввидебита;

2)байтсдвигаетсявправо,чтобыбитоказалсянамладшейпозициибайта;

3)байтлогическиумножаетсянадвоичнуюединицу:

-дляобнуленияостальныхбит,

как:

-ивыделениянужногобита.

НаязыкепрограммированияСиоперацияполучениябитавыполняется

_(x>>i)&1,

гдеx-значениемашинногослова,

i-позицияискомогобита,

>>-сдвигзначенияпеременнойxнаiпозицийвправо(слевадобавляютсянули),

&-операциялогическогоумножения.

Дляустановкизначенияy (y{0,1})дляi-гобитаиспользуетсяоперация:

(x&~(1<<i))|(y<<i),

где<<-операциясдвигазначенияпеременнойyнаiпозицийвлево(справадобавляютсянули),

~(…)-двоичнаяинверсиязначениявскобках,

|-операциялогическогосложения,

(x&~(1<<i))-обнулениеi-гобитавпеременнойx(демаскированиеi-гобита).

Леваячастьвыраженияобнуляетi-ыйбитвчислеx,аправаячасть-

устанавливаетновоезначениеyвi-юпозицию.

Стандартныйбазисприменяется:

-дляпереводамеждусобойдвухтиповпредставленияэлементовнормальногобазиса:

-изстепенипримитивногоэлементавегозначение,

-иобратно.

III.Представление элементовконечногополяGF(2ⁿ) при помощи

сопровождающейматрицыA,заданнойпримитивныммногочленом

ψ(x)=₀₊₁x+…+_n−1x^n-1+xⁿ,где_i{0,1}.

СопровождающаяматрицаAстроитсянабазеполинома-модуляψ(x)

следующимобразом.

1.МатрицаA=(a_ij),a_ij{0,1},i,j0,n1,заполняетсянулями.

2.Единицамизаполняетсяглавнаянижняяподдиагональ:

-дляi1,n2выполняетсяа_i+1,I=1.

3.В верхнюю строку матрицы записываются коэффициенты принеизвестныхψ(x)впорядкеубываниястепенейнеизвестных:

-дляi0,n1:a_0,i=_n-i-1.

n

_{Тогдаполучимматрицуследующеговида(рис.3.1).}

СтепениэтойматрицыA,A²,…,

_{определяютэлементыполяGF(2}ⁿ_):

_A21

вместеснулевойматрицей

-нижняястрокаматрицыА^iввидевектора(a_(n-1)0,a_(n-1)1,…,a_(n-1)(n-1))

задает

-соответствующийi-ыйэлементполяGF(2ⁿ)-степеньпримитивногоэлементаξⁱ,i0,2^n2.

^n-1 ^n-2 ^n-3 ^{… 2 1 0}

1 0 0 0 0 0

A_n?n= ^{0 1 0 … 0 0 0}

0 0 1 0 0 0

… … …

0 0 0 0 1 0

Рис.3.1.Структурасопровождающейматрицы

Пример3.1.Представим элементыполя GF(2³) в виде степенейсопровождающейматрицы.

_{Длямногочленаψ(x)=x}³_{+x+1сопровождающаяматрицаимеетвид}

_{(рис.3.2):}

	0	1	1
A3?3=	1	0	0
	0	1	0

_{Рис.3.2.Сопровождающаяматрицадляполиномаψ(x)=x}³_+x+1

Получимследующеемножествоэлементовполя:(0,E,А,А²,А³,А⁴,А⁵,

_А⁶_{)(рис.3.3),гдеE-единичнаяматрицаразмераn?nиА}⁷_{совпадаетсE:}

	0	0	0			1	0	0			0	1	1
0=	0	0	0	;	E=	0	1	0	;	A=	1	0	0
	0	0	0			0	0	1			0	1	0

	1	1	0			1	1	1			1	0	1
A2=	0	1	1	;	A3=	1	1	0	;	A4=	1	1	1
	1	0	0			0	1	1			1	1	0
	0	0	1			0	1	0			1	0	0
A5=	1	0	1	;	A6=	0	0	1	;	A7=	0	1	0
	1	1	1			1	0	1			0	0	1

Рис.3.3.СтепениматрицыA

Дляхраненияэлементовполятребуетсяобъемпамяти:

-равный2ⁿ?n?n=2ⁿ?n^2бит,

-гдеn?n-объемпамятипододнуматрицу.Дляопераций:

-редкоиспользующихвсезначениястепенейматрицыA,

-можнохранитьтолькоматрицуA.

ПривычисленииматрицыAⁱ,i2,2^n2:

-потребуетсявыполнить(n-1)?n²?(i-1)операцийсложенияи

-n?n²?(i-1)операцийумножения,

-где(i-1)-количествопоследовательныхвозведенийвстепень,

-(n-1)-количество операций для получения одного элементарезультирующейматрицыприумноженииматрицA^i-1иA.

Данныйспособпредставленияэлементовполяприменяется:

-приумножениидвухполиномовметодомPaar[16]:

-заменакомплекснойоперацииумножения

- на множество умножений и сложений полиномов меньшихстепеней;

-для получения значений степеней примитивного элемента прииспользованиинормальногобазиса.

IV.Представлениеполиномовввидепараллельныхмассивов,гдеэлементы:

-первогомассивахранятстепенинеизвестныхполинома(степеньпринеизвестнойсненулевымкоэффициентом),

-аэлементывторого-коэффициентыпринеизвестных.

Способприменимдляполиномовснеравномернымраспределениемоднихдвоичныхкоэффициентовотносительнодругих:

-хранятся коэффициенты и степени при неизвестных полиномовтолькодлястепеней,

-прикоторыхнаходятсякоэффициенты,

-общее количество которых меньше числа коэффициентов,противоположныхпозначению.

V.Нормальныйбазис.Элементыполяпредставляютсяввиде:

-степенейпримитивногоэлемента,

-которымсопоставленыбинарныезначенияэлементовполя(элементывстандартномбазисе).

_{ДляполяGF(2}ⁿ_{)требуетсявычислитьихранить:}

-(2^n-1)степенейпримитивногоэлемента,

-каждаяизкоторыхимеетдлинуn-1бит.

ВсеэлементыполяGF(2ⁿ)можнозаписатьввидемножества:

n

GF(2ⁿ)={0,1,ξ,ξ²,…,^22},

гдеξ-примитивныйэлемент.

Для полученияэлементовполя GF(2ⁿ) в этом базисе можноиспользовать:

_{-способпоследовательногоумноженияξ}ⁱ_{наξ(тоестьξиспользуется}

какобразующийэлементполяGF(2ⁿ));

-вычислениесопровождающейматрицыA.Пример3.2.ПостроимполеGF(2ⁿ),гдеn=3.Пустьданы:

_{-неприводимыйполином-модульψ(x)=x}³_+x+1и

-ξ-заранееизвестныйпримитивныйэлементполя,являющийсякорнеммодуля,т.е.еслиψ(ξ)=ξ³⁺ξ+1=0.

_{ТогдаGF(2}³_)=(0,1,ξ,ξ²_,ξ³_,ξ⁴_,ξ⁵_,ξ⁶_).

Элементыполя GF(2³) в нормальном базисе можно построитьследующимобразом:

1)накаждомшагебудемумножатьпредыдущийэлементполянаξ;

2)еслиполучаетсяполином,степенькоторого≥degψ(ξ)(xзаменилина

ξ),тоосуществляетсявзятиеостаткаотделениятекущегорезультатанаполиномψ.

ξ⁰=1=(001)ξ¹=ξ=(010)ξ²=ξ²⁼(100)ξ³=1+ξ=(011)

ξ⁴=ξ+ξ²⁼(110)ξ⁵=ξ³+ξ²⁼(111)ξ⁶=ξ⁴+ξ³⁼(101)ξ⁷=1=ξ⁰.

В скобках записаны двоичные коэффициенты при неизвестныхполинома,задающеготекущийэлементполя.

Способпредставленияданныхспомощьюнормальногобазиса:

-нерационален,

-таккакхранитсябольшоеколичествоинформации.

Существует2формыпредставленияэлементовполявнормальномбазисе-ввиде:

-значениястепенейпримитивногоэлемента;

-степенейпримитивногоэлемента.

а)Хранениезначенийстепенейпримитивногоэлемента(эквивалентстандартногобазиса):

- примитивный элемент в некоторой степени хранится в видебинарноговектора;

_{- значение ξ}ⁱ _{представляется в виде двоичных коэффициентов}

n

_{многочленаξ}ⁱ_;

-дляхраненияполяGF(2ⁿ)=(0,1,ξ,…,ξⁱ,…,

двумерныйвектор-матрица,

^22)используется

-каждаяi-аястрокаматрицысодержитдвоичноезначениеэлементаξⁱ.

Матрицабудетиметьследующийразмер:

-количествострок(количествостепенейпримитивногоэлемента)

равно2ⁿ-1,

-количествостолбцовn,

-гдеn-максимальнаястепеньполинома-модуля,

-торазмерравен(2ⁿ-1)?nячеек.

б)Хранение степенейпримитивногоэлемента, а не значениястепенейпримитивногоэлемента:

_{-длязаданияэлементаξ}ⁱ_{хранитсястепеньi;}

-элемент,равный1,заменяетсянаξ⁰,асоответственноегостепеньравна0;

-если значение степени примитивного элемента равно 0, топринимается:

-что показатель степени примитивного элемента равеннеопределенности,

-обозначаемойсимволом"".

Использованиеданногометодахранения:

-даетвыигрышвпамяти,

-так как требуется хранить не вектор-полином, а целое число,размеромвмашинноеслово;

-упрощаетоперацииумноженияэлементовивозведенияихвстепень,

-таккакоперациивыполняютсянесвекторами,асцелымичислами-

степенямиэлементов.

Вкачественедостатковможноотметить:

-таккаквосновномвоперацияхсэлементамиполяучаствуютсамизначенияэлементовполя,

-тотребуетсясистемапереводастепенипримитивногоэлементавегозначение;

-неэффективенприсложенииэлементов;

-увеличиваетсявремяработыалгоритма:

-напреобразованиеизстепенивзначениеиобратно;

-дляэтогоиспользуетсяпредварительнополученнаяматрицаизпунктаа).

Привычислениинекоторойоперациисэлементами,заданнымиввидестепеней(например,сложениеэлементов):

-элементыполязаписываютсявстандартномбазисе(ввекторномпредставлении);

-наднимивыполняютсяарифметическиеоперации;

-вконцевозможнообратноепреобразованиерезультата:

-результирующийбинарныйвекторищетсявматрицеизпунктаа),

-номернайденнойстрокиiибудетзадаватьстепеньэлементаξⁱ.

Пример3.3.Втабл.3.1записаныэлементыполяGF(2⁴)вразныхпредставленияхдляполинома-модуляψ(x)=x⁴⁺x+1.

Вполиномиальномпредставленииследующийэлементполучается:

_{-путемумноженияпредыдущегоэлемента,заданноговвидеполинома,}

наx;

_{-еслимаксимальнаястепеньрезультатаоперацииполучаетсяравной}

степенимодуля,

-товыполняетсянормированиерезультата-поразрядноесложениепомодулю2результатаиполиномаψ(x).

Таблица3.1(начало).Элементыполявразныхпредставлениях

Номерэлемента	Нормальныйбазисξi(степенное)	Стандарт- ныйбазис (векторное)	Полиномиальное
1	2	3	4
0	ξ	0000	0
1	ξ0	0001	1
2	ξ1	0010	x
3	ξ2	0100	x2
4	ξ3	1000	x3
5	ξ4	0011	x+1
6	ξ5=ξ4ξ	0110	(x+1)x=x2+x
7	ξ6=ξ5ξ	1100	(x2+x)x=x3+x2
8	ξ7=ξ6ξmodφ(x)	1011	(x3+x2)x=(x4+x3)modφ(x)=x3+x+1

_{Таблица3.1(окончание).Элементыполявразныхпредставлениях}

1	2	3	4
9	ξ8=ξ7ξmod φ(x)	0101	(x3+x+1)x=(x4+x2+x)modφ(x)=x2+1
10	ξ9=ξ8ξ	1010	(x2+1)x=x3+x
11	ξ10=ξ9ξmod φ(x)	0111	(x3+x)x=(x4+x2)modφ(x)=x2+x+1
12	ξ11=ξ10ξ	1110	(x2+x+1)x=x3+x2+x
13	ξ12=ξ11ξmod φ(x)	1111	(x3+x2+x)x=(x4+x3+x2)modφ(x)=x3+x2+x+1
14	ξ13=ξ12ξmod φ(x)	1101	(x3+x2+x+1)x=(x4+x3+x2+x)modφ(x)=x3+x2+1
15	ξ14=ξ13ξmod φ(x)	1001	(x3+x2+1)x=(x4+x3+x)modφ(x)=x3+1

Рассмотримполучение11-гоэлемента.Дляполучения11-гоэлемента

10−ыйэлементумножаетсянаx:

(x³⁺x)·x=x⁴⁺x².

Поразрядно сложим векторы коэффициентов для полинома

x⁴+x²⁽10100₂)иполинома-модуляx⁴⁺x+1(10011₂):

10100₂

^10011₂

⁰⁰¹¹¹₂^.

Получаем11-ыйэлемент,равный:

-встандартномбазисе0111₂,

-иливполиномиальномx²⁺x+1.

Если степеньрезультата будет > степени модуля ψ(x), тоосуществляетсяделениерезультатанаψ(x).Например:

-получим11-ыйэлементчерез7-ой;

-умножимполином,соответствующий7-муэлементу,наx⁴:(x³⁺x²)·x⁴⁼x⁷⁺x⁶;

-таккакстепеньрезультата>степенимодуля,товыполняетсяделениерезультатанамодульψ(x)(например,столбиком),анесложениесним:

_x⁷_x⁶

_

x^7

_x⁴_x³

x^4x1

_x³_x²_1

_x⁶_x⁴_x³

^ _x⁶_

_x⁴_

^ _x⁴_

x^3x²

_x2

x1

_x²_x1

Получимостатокx²⁺x+1,которыйиявляется11-мэлементомполя.

АлгоритмполученияэлементовполяGF(2ⁿ)встандартномбазисе

Для построения элементов поля GF(2ⁿ) в стандартном базисесуществуетследующийалгоритм,использующийсдвиговыерегистры.

_{Навходе:полеGF(2}ⁿ_{),заданноеполиномом-модулемψ(x).}

Навыходе:множествонайденныхэлементовполя(получаемыхнашаге2алгоритма).

Пустьзаданы2регистраРг1иРг2длиныn+1-внихзапишем:

-вРг1-коэффициентыполинома-модуляψ(x);

-вРг2-константу-единицу000…001.

Предполагается,чтонулевойэлементполяравен000…000.Шагиалгоритма.

1.Пустьтекущийномерэлементаполяравенj=1.

2.РегистрРг2задаетэлементполяподномеромj.

3.РегистрРг2сдвигаетсявлевонаоднупозицию.

4. Если старший, n-ый разряд регистра Рг2 равен единице, товыполнитьпоразрядноесложениеРг2=Рг1+Рг2.

5.Выполнитьсложениеj=j+1.Еслиj=2ⁿ,товыход,иначепереходк

шагу2.

Дополнительныепримерыдлярешения.

Аналогичнопримеру3.3постройтеэлементыполяGF(2⁴),заданногополиномом-модулемψ(x)=x⁴⁺x³⁺1.

Вопросыдлясамопроверки.

1.Поясните,какможнопредставлятьэлементыполявстандартномбазисе.

2.Вчемдостоинстваинедостаткипредставленияэлементовполявстандартномбазисе?

3.Какимобразомвыполняетсяоперацияполучениякоэффициентаэлемента,представленноговстандартномбазисе?

4.Какимобразомвыполняетсяоперацияустановки значениякоэффициентаэлемента,представленноговстандартномбазисе?

5.Поясните,какможнопредставлятьэлементыполяприпомощисопровождающейматрицы.

6.Какойобъёмпамятитребуетсядля хранениястепенейсопровождающейматрицы?

7.Для чего используется представление элементов поля с помощьюсопровождающейматрицы?

8.Поясните,какможнопредставлятьэлементыполяприпомощипараллельныхмассивов.

9.Поясните,какможнопредставлятьэлементыполяввидезначенияпримитивногоэлемента.

10.Поясните,какможнопредставлятьэлементыполяввидестепенипримитивногоэлемента.