Лекция14 Дополнительныйматериализраздела Теориячисел

1.Уравнениясравнений

a*a^-1≡1modP,гдеa^-1=xa*x≡1modP

Общийвид:

ax≡bmodP

_x≡(ba^-1_)modP

H/p

a=5,b=9,mod=23

_5x=9mod23

_5→5^-1_=y

5*y≡1mod23

5*14>y=14x≡9*14modPx=11

_{Системыуравненийсравнений}

Общийвид:

x≡c_1modm₁

x≡c_2modm₂

……………………

x≡c_kmodm_k

Упрощенныйвид:

x≡c_1modm₁

x≡c_2modm₂

Найтиx:

1)Имеется1решение

2)Неимеетсярешений

3)имеетсямножестворешений

Алгоритмрешения:

1.определитьНОД(m_1,m₂)=d

2.проверитьусловиеделимостиd/(c_1–c₂),т.е.являетсялиd–делителем

(c_1–c₂)илинет.

→еслиdнеделитнацело–решениянет.

→еслиdделитнацело–решениеимеется,либосуществуетбесконечноеколичестворешений.

2.Китайскаятеоремаобостатках

Пустьm₁,m₂,…m_t–модулиm_i>1(m_i,m_j)>1;ij

_{Пустьa1,a2,…,at–целые0aimi}

^{ПустьM=m}_1,^m_2,…^,m_t^,m_i^=M/m_i^,N_i^=M_i^-1

N_i*Mi≡1modM_i

Тогдаx≡a_i(modm_i)

^x≡a₁^(modm₁⁾

^x≡a₁^(modm₂⁾

………………

^x≡a_t^(modm_t⁾

x=(a_iNiMi)modM,0xM

3.Тестированиечиселнапростоту Псевдопростыечисла

Псевдопростыечисла–этосоставныенатуральныечисла,удовлетворяющиемалойтеоремеФерма.

МалаятеоремаФермаутверждает,чтоеслиnпростое,товыполняетсяусловие:привсехaиз{1,2,…,n−1}имеетместосравнение

a^n-1≡1(modn) (1)

Изэтойтеоремыследует,чтоеслисравнение(1)невыполненохотябыдляодногочислаaвинтервале{1,2,…,n−1},тоn—составное.

Идлякоторыхсправедливыследующиеутверждения:

a^p-1(modp)≡1

b^n-1(modn)≡1,где1<bn-1

ТестЛюка

Предположим,чтомыхотимопределить,являетсялиданноечислоnпростым.Одинизвозможныхпутей–попытатьсяпоказать,чтопорядокгруппыU(n)равенn-1,т.е.имеетместоравенствоφ(n)=n-1.Еслиэтотак,толюбоенатуральноечислоа,меньшеn,должнобытьвзаимнопростымсним,чтовозможнотолькодляпростогоn.

Пустьn–нечетноенатуральноеиb–целоечисло,подчиняющееся

_{неравенству}

2bn-1

Еслидлякаждогопростогоделителяpчислаn-1справедливыследующиеутверждения:

(1)b^n-1≡1(modn),

(2)b^(n-1)/p≢1(modn),

_{тоn–простоечисло.}

Тест:Брилхарт,ЛемериСелфридж

В1975годуБрилхарт,ЛемериСелфриджпоставилисебецельютакусовершенствоватьтестЛюка,чтобыдляразныхпростыхделителейчислаn-

1можнобылонаходитьвычетыразличныхчиселb.Этонамногобыупростилоприменениетеста.Результатихусилийсформулированниже

Пустьn–нечетноенатуральноечисло,причем

n-1=p₁^e1…p_r^er,

гдеp_1<…<pr–простыечисла.Еслидлякаждогоi=1,2,…,rсуществуеттакое

целоечислоb_i(2b_in-1),что

i

_{тоn–простое.}

b_i^n-1≡1(modn) и b_i^(n-1)/p

1(modn),

Отметим,чточислаb_iнеобязательнодолжныбытьразличными.

4.ЧислаКармайкла

Можетлисоставноенечетноечислоnбытьпсевдопростымповсемвзаимно-простымснимоснованиямb?Забегаявперед,скачем,что«да».

Заметим,чтоеслиbвзаимнопростосn,тосравнениеb^n≡b(modn)

равносильно

b^n-1≡1(modn).

Асуществуетлитакоенечетноенатуральноеn,которое,будучисоставным,удовлетворяетсравнениямb^n≡b(modn)длявсехцелыхb?

ПервымпривелпримертакихчиселnматематикР.Д.Кармайклвсвоейработе,опубликованнойв1912году.ПоэтомуонииназываютсячисламиКармайкла.

НечетноенатуральноеnназываетсячисломКармайкла,еслионосоставноеи

_bⁿ_{≡b(modn)длявсехцелыхb.}

Конечно,достаточнопроверитьэтосравнениетолькодлячисел,удовлетворяющихнеравенству1<b<n-1,посколькумыработаемпомодулюn.

КакпоказалсамКармайкл,наименьшееизчисел,открытыхим,равно561.Докажем,чточисло561–числоКармайкла:

561=3*11*17

b^561≡b(mod561)

b^561≡b(mod17)

далеенеобходиморассмотретьдваслучая:

1)число17делитb.Вэтойситуацииобечастиуравненияb^561≡b(mod17)

сравнимыс0помодулю17,т.е.сравнениесправедливо.

2)Число17неделитb.

b^16≡1(mod17)

561=35*16+1,поэтому

b^561≡(b¹⁶)^35*b≡b(mod17)