ПримитивныеполиномынадполемGf(p)

НеприводимыйнадполемGF(p)многочленf(x)степениnназываютпримитивнымнадполемGF(p),если[9]

_ordf=pⁿ

_-1.

Пример1.8.НеприводимыйнадполемGF(2)многочленf(x)степенип

_{явля:етсяпримитивным,если}

ordf=2ⁿ

-1.

Обозначение.

_{многочленов.}

в_p(n){n)-числопримитивныхстепениnнадполемGF(p)

в_p(n)

определяетсявеличиной[9]:

в_p

_(n)^(n)_,

ⁿ

_гдеm=

_pⁿ_-1,(m)_{-функцияЭйлера(определяющаяколичествочиселиз}

множества

_{{0,1,2,...,m-1},взаимнопростыхсm).}

Пример1.9.

_в(4)^(15)_{2,таккак(15)8.}

² 4

Алrебраическиеструктурынадмножествоммногочленов КольцомногочленовнадполемGf(p)

Определение1.17.Кольцо,образованноемногочленаминадполемGF(p),называетсякольцоммногочленовнадконечнымпо

лемGF(p).

Обозначение.GF[x]-кольцомногочленовf(x)надполемGF(p).F[x]-

кольцомногочленовнадполемF.

ДлякольцаGF[x]справедливыарифметическиеоперациисложения,умножения,сравнения,делениясостатком,делимость.

_{Двамногочленаf(x)иg(x)}^_{GF[x]надполемGF(p)считаются}

равнымитогдаитолькотогда,когда

f(x)

_n

^

i0

i

a_ix

,g(x)

_n

^

i0

i

b_{ix и}

аi.=bi,0≤i<n.

_{Суммамногочленовf(x)иg(x)определяетсяравенством:}

_n

^{f(x)g(x)}_^(a_i

i

b)x^i,

_{Произведениемногочленов}

i0

_{таких,что}

f(x)

_n

^

i0

i

a_ix

,g(x)

_n

^

i0

i

b_ix

f(x)g(x)

_nm

^_

k

c_kx

,c_k

_^a_i^b_j

k0

ijk

0≤i≤n,,0≤j≤m.

Деление:g(x)^GF[x]делитf(x)^GF[xJ,еслисуществуетмногочлен

h(x)^GF[x],такой,чтоf(x)=g(x)h(x).

Делениесостатком.Пустьg(x)≠0^GF[x],тогдадлякаждогоf(x)^

GF[x]существуюттакиеq(x)иh(X)^GF[x],что

f(x)=q(x)g(x)+h(x),гдеdeg(h)<deg(g).

Вотмеченныхравенствахоперациисложенияиумножениякоэффициентовαиβвыполняютсяпомодулюпростогочислар.

Приэтомкоэффициентыполиномов,являющихсярезультатомпримененияоперацийнадполиномами,принадлежатполюGF(p).

КонечноеполемногочленовнадGF(p)

РассмотримтипполяGF(pⁿ⁾,n>1,которыйосновываетсянаоперацияхсложенияиумноженияпомодулюнеприводимыхмногочленов

надGF(p)степениn.

_{Втакомполечислоэлементовравно}

_pⁿ_{,аэлементыописываются}

_{многочленаминадGF(p)степениневышеn-1вформе}

g(x)=

^a₀^a₁^x₁^...a_n1^x

_n1

^,

гдеaj^GF(p),i=0,n-1.

Наивысшаястепеньэлементахравнаn-1,таккакоперациисложенияиумножениямногочленовg(x)определеныпомодулюнеприводимогомногочленаf(x)надGF(p)степениn.Приэтомсложениеиумножениеэлементовajвыполняетсяпомодулюр.

_{Пример.ПостроимполеGF(p}ⁿ_)=GF(2²_{).Возьмемнеприводимый}

_{многочленf(x)=}

_x²_{+х+1надполемGF(2).ТогдаполеGF(2}²

_{=4)будет}

иметь4элемента,описываемыхмногочленами:0,1,х,х+1(т.е.всемногочленыстепени,меньшей2).

Определение1.18.ДваполяGF(pⁿ⁾,отличающиесялишьобозначениямиэлементов,называютсяизоморфными.

ВсеполяGF(pⁿ⁾изоморфныполюмногочленовнадGF(p)

помодулюнеприводимогомногочленастепениnнадполемGF(p)[2].

_{ЛюбоеполеGF(p}ⁿ_{)изоморфноконечномуполю,полученному}

разложениемдвучлена

_p^m

x

^{-хнадполемFp[2].}