Алгоритмпередачисекретногоключапооткрытомуканалу

Всередине70-хгодовпроизошелнастоящийпрорыввсовременной

криптографии–появлениеасимметричныхкриптосистем,которыенетребовалипередачисекретногоключамеждусторонами.Здесьотправнойточкойпринятосчитатьработу,опубликованнуюУитфилдомДиффии

МартиномХеллманомв1976г.подназванием«Новыенаправлениявсовременнойкриптографии».Внейвпервыесформулированыпринципыобменашифрованнойинформациейбезобменасекретнымключом.

У.ДиффииМ.Хеллманпредложилидлясозданиякриптографическихсистемсоткрытымключомфункциюдискретноговозведениявстепень.

КА,КВ–случайныечисла

_{(а,р)Ек(а)}

А	В
1.1<к<p-2	1.1<к<p-2
2.СА=акАmodр	2.СВ=акВmodр
3.АпосылаетВ«СА»	3.ВпосылаетА«СВ»
3.Авычисляетк1,котороеиявляетсясекретнымключом Ввычисляетк2,котороеиявляетсясекретнымключомтаккак к1=к2

_к1=СВ^кА_modр=а^кА·кВ_modр;

к2=СА^кВmodр=а^кА·кВmodр;

к1=к2=кс;

_{Делимостьцелыхчисел.}

Лекция№2 Элементытеориичисел

N–множествонатуральныхчисел.Всеоперациивыполняютсятольконадцелымичислами.

Основнаятеоремаарифметики:

Пустьзаданнодванатуральныхчислаaиbиb<a,тогдасправедливоутверждениеоaможнопредставитькакa=b*q+r,гдеr-остаток,можетбытьравен0,аможетбытьинеравен.

Еслиr 0,тоq–неполноечастное,аеслиr=0,тоq–полноечастное.

b–Делительa.Краткаязапись:(b|a)–bделитaбезостатка.

АлгоритмЕвклида

АлгоритмЕвклидадаетправиловычислениянаибольшегообщегоделителя

(НОД)2-хнатуральныхчисел.(a,b)=d,гдеd–НОДНОК–наименьшееобщеекратное

[a,b]=k,гдеk–НОК

Наибольшийобщийделитель(НОД)чиселаиb-этонаибольшеецелоечислоd,накотороеиа,иbделятся:d=НОД(а,b).ЕслиНОД(а,b)=1,точислааиbвзаимнопростые.

Наименьшимобщимкратным(НОК)несколькихнатуральныхчиселназываетсянаименьшеенатуральноечисло,котороеделитсябезостатканакаждоеизданныхчисел.НОКдвухчиселaиbможновычислитьназнанииНОД(a,b)поформуле: ,т.е.

.

СуществуетрекуррентнаязаписьзаписьалгоритмаЕвклида,котораязаканчиваетсязаопределенноечислошагов.

Разложимбольшеечерезменьшее b<a

…………………….

и

СуществуеттеоремачтопредпоследнийостатокиестьНОД

т.е. –НОД

_{Наоснованиетеоремысделаемвыводчто}

Пример:a=525,b=231

525 231

_{462 2}

231 63

189 3

63 42

42 1

42 21- НОД

42 2

0

Пример2:a=1234,b=54

1234=54*22+46

54=46*1+8

46=8*5+6

8=6*1+2

6=2*3+0

_(a,b)=d

РасширенныйалгоритмЕвклида(РАЕ)

dможноразложитьпоформуле:

ax+by=d

Дополнительновычисляютсякоэффициенты x,y

Пример:a=1234,b=54

2=8-6*1=8-(46-8*5)=6*8-46=-6(54-46*1)-46=6*54-6*46-46=6*54-7*46=6*54-

7*(1234-54*22)=6*54-7*1234x=7;y=160

АлгоритмРАЕКнута

………………………

;

АлгоритмКнутаудобнопредставлятьввидетаблицы

Остаток(r)	q	x	y
a	*	x-1 1	y-1 0
b	*	x0 0	y0 1
r1	q1	x1	y1
r2	q2	x2	y2
…………………..	……………………….	……………………	……………………….
rn-2	qn-2	xn-2	yn-2
rn-1	qn-1	xn-1	yn-1

_;

Общийвидформулдлявычисленияx_jиy_j:

^xj^=xj-2^-qj^xj-1

^yj^=yj-2^-qj^yj-1

_{Пример:}

	q	x	y
a=1234	*	1	0
b=54	*	0	1
46	22	1-22*0=1	…..
8	1	-1	…..
6	5	1-5*(-1)=6	….
2	1	-1-1*6=-7	160
0	3

Вопросыдлясамопроверки.

1.ДлячегопредназначеналгоритмЕвклида?

2.ЧтотакоеНОДиНОК?Какаясвязьмеждуними?

3.КакимобразомможновычислитьНОД?

4.ПояснитеработуалгоритмаЕвклида.

5.Какоерекуррентноесоотношениесуществуетмеждуостатками,полученныминасмежныхшагахалгоритмаЕвклида?

6.ПочемуалгоритмЕвклидаконечен?

7.КакимиособенностямиобладаеталгоритмЕвклида?

8.ПрикакихусловияхпроисходитвыходизалгоритмаЕвклида?

9.КакиематематическиеоперациииспользуютсявалгоритмеЕвклида?

10.ВчемзаключаетсяотличиемодификацииалгоритмаЕвклидаоталгоритма

Евклида?