11.Какиематематическиеоперациииспользуютсявалгоритмах? лекция12 Многочленынадконечнымполем

Onределенuе1.13.Многочленом(относительнох)надполемGF(p)

m

_{называетсявыражение}

^f(x)=₀

^+₁^x+…+_т^{x ,}

гдекоэффициенты_i,i=0,nпринадлежатполюGF(p),символхвмногочлене-переменная(еслиf(x)рассматриваетсякакфункция)илинеизвестная,необязательнопринадлежащаяполюGF(p).

Степеньюмногочленаf(x)называетсянаибольшеечислоi,

такое,что_i≠0.

Многочленнулевойстепениназываетсяконстантой.Обозначение.degf(x)=deg(f)-степеньмногочлена.

НазовемдвамногочленанадGF(p)равными,есликаждыйизнихсоответствуетоднойитойжепоследовательностикоэффициентов.Отметимследующее.Пустьf(X)=X3+X2+хиg(X)=XдвамногочленанадGF(2).Всилуданногоопределенияэтимногочленынеравны.Если

представитьвместохэлементыполя0и1,тополучим,чтоf(0)=0,f(1)=1,g(0)=0,g(l)=1.Поэтомуеслирассматриватьf(x)иg(x)какфункциипеременной,определеннойвполепомодулю2,тоонибудутравны,хотяприрассмотренииихввидемногочленов(т.е.когдаинтереспредставляетпосле-довательностькоэффициентов)онинеравны.

Определение1.14.Многочленf(x)надполемGF(p)называетсянормированным,еслиегостаршийкоэффициента.правен1.

Пример1.5.Нормированныемногочленытретьейстепенинадполем

_{GF(2): '}

_x³_;

_x³_+1;

_x³_+х;

_x³₊

_x²_;

_x³₊

_x²_+1;

_x³₊

_x²_+х;

_x³_+х+1;

_x³₊

_x²_+х+1.

Определение1.15.Многочленf(x)надполемGF(p)называетсянеприводимымнадполемGF(p),еслионимеетположительнуюстепеньиравенствоf(x)=gh,(hтакжемногочленнадполемGF(p»можетвыполнятьсялишьвтомслучае,когдалибоg,

либоhявляютсяконстантой.

Пример1.6.НеприводимыеинормированныемногочленытретьейстепенинадполемGF(2):

_x²_+х+1;

_x²₊

_x²_+1.

Обозначение.dIп-целоечислоdделитцелоечислоп(безостатка);

f(x)Ig(x)-многочленf(x)делитмногочленg(x)(безостатка).

ЧислонеприводимыхинормированныхстепенипмногочленовнaдполемGF(p)определяетсянаосновефункцииМебиусаиравно:

n

p

_a(n)¹_pd(d),

ⁿ_dIn

гдесуммированиеберетсяповсемположительнымделителямdчислаn.

Пример.n=4,р=2.а₂(4)=1/4(2^4-2²)=3

Длялюбогопростогориn^NсуществуетхотябыодиннеприводимыйнадполемGF(p)многочленстепениn[9].

_{ЛюбойнеприводимыйнадполемGF(p)многочленстепенипделит}

_{многочлен}

x^pmx

_{(такжеимногочлен}

_xp^m1

_1)[9]/

_{НеприводимыйнадполемGF(p)многочленстепениnтогда}

итолькотогдаделитмногочлен

_xpm

^x,есличислоnделитm[9].

ПорядокмногочленанадполемGF(p)

Определение,1.16.Пустьf(x)нормированныйстепениnмногочленнадполемGF(p)иf(0)≠0;наименьшеенатуральноечислоТтакое,

_{чтоf(x)|(x}^T

_{-1),называютпорядкоммногочленаf(x)}

Порядокмногочленаиногданазываютегопериодом.

Обозначение.Ordf-порядокмногочленаf=f(x).

Еслиf(x)-нормированныймногочленстепенипнадполемGF(p),f(0)≠0,то

_[9]

_l≤ordf≤pⁿ

_-1.

Пустьf(x)иg(x)-взаимнопростыемногочленынадGF(p),тогда:

ordf.g=[ordf,ordg]

равеннаименьшемуобщемукратномувеличинordf,ordg[9].

Еслиf.неприводимыймногочленстепениnнадполем

GF(p),δ=ordf,тоδ|(p^n-1)[9].