1)Замкнутость:длялюбыхαиβизSэлементпринадлежитS,где(*)-

операциясложенияилиумножения.

2)МножествоSявляетсяабелевойгруппойотносительнооперациисложения.

3)МножествоSявляетсяполугруппойотносительнооперацииумножения,т.е.дляоперацииумножениявыполняютсялишьаксиомызамкнутостииассоциативности(этоозначает,чтовкольценевсегдавозможно«деление»).

4)Выполняетсядистрибутивность(распределительныйзакон):длялюбыхα,β,уизS

(β+у)α=βα+уαα(β+у)=αβ+αу.

Алгебраическаяструктурасперечисленнымисвойстваминазываетсяассоциативнымкольцом.

Кольцоназываетсякоммутативным,еслидополнительновыполняетсяпятаяаксиома-коммутативность(относительнооперацииумножения)длялюбыхα,βизS:

αβ=βα.

Кольцоявляетсякольцомсединицей,есливSсуществуетКольцоявляетсякольцомсединицей,есливSсуществуетединицаотносительнооперацииумножения.

Следуетотметить,чтооперациисложенияиумножениянеобязательноявляютсяобычнымисложениемиумножением.

Кольцокакалгебраическаяструктурадопускаетдальнейшуюклассификацию,получаемуюрасширениемегосвойств[2].

Примеркольца.МножествоZвсехцелыхчиселобразуеткольцо-

коммутативное,ассоциативноеисединицей.

Поле

Слово«поле»означаеталгебраическуюструктуру,гдесложениеиумножениеможетпроизводитьсяпоправиламсоответственноаддитивнойимультипликативнойабелевыхгрупп.

Onределение1.8.МножествоSназываетсяполем,еслисложениеиумножениеопределеныдлялюбойпары(α,β)элементовизSивыполняютсяследующиеаксиомы.

1)Замкнутостьподвумоперациям(сложенияиумножения).

2)МножествоSявляетсяабелевойгруппойотносительнооперациисложения.

3)МножествоSявляетсяабелевойгруппойотносительнооперацииумножения.Этосвойствосоздаетосновудляделенияэлементови

_{определяетматематическоеправилосокращения,т.е.еслиαβ=уα,α,β,у}^_S

,тоβ=у(впредположении,чтоαнеравнонулю).

4)Выполняетсядистрибутивность:длялюбыхα,β,у^S

α(β+y)=αβ+αy(β+у)α=βα+yα.

Итак,полепредставляетсобойалгебраическуюструктуру,элементывкоторойможноскладывать,вычитать,умножатьиделитьвсоответствиисобычнымиправиламиарифметики(дляслучая,когдааддитивнаяимультипликативнаягруппыбесконечны).

ПримеромполяявляютсямножествоQрациональныхчисел,

множествоR-действительныхчисел.Заметим,чтомножествоZцелыхчиселнеудовлетворяетаксиомамполя,посколькулюбоецелоечислобольше1неимеетобратногопооперацииумноженияэлемента,которыйявлялсябыцелымчислом.

поле.

Отметимважноесвойствополя-разрешимостьлинейныхуравненийв

_{ВведемобозначениеFдляполя,этимжесимволомдалеебудем}

обозначатьимножествоэлементовполя.

ЛинейнымуравнениемотносительнохнадполемFназываетсявыражениевидаαх+β=0,где0,α,β^F.

Еслиαнеравнонулю,толинейноеуравнениеαх+β=0

имеетединственноерешениевF(т.е.существуеттолькоодинэлементполя,приподстановкекотороговуравнениеполучаетсяверноеравенство).

Приведемдоказательство[5]этогоутверждения,котороеил-люстрирует,какимобразомразрешимостьлинейногоуравненияследуетизаксиомполя.

αх+β=0,

αх+β+(-β)=0+(-β) ассоциативностьисвойствоаддитивнойединицы(О);

αх+0=(-β) поопределению0;

_{х=(-β) свойство0;}

_a^1

_(αx)=

_a^1

_{(-β) αнеравно0;}

_(αa^1_)x=(-β)

_a^1

_{ассоциативностьикоммутативность;}

lх=(-β)

_х=(-β)

_a1

_a^1

поопределениюмультипликативнойединицы;

_{свойство1.}

_{Элемент(-β)}

_a^1_{содержитсявF(таккакFзамкнутоотносительноопераций}

_{сложенияиумножения).Этотэлементидаетрешениеуравнения.Болеетого,}

_{таккакобратныеэлементывFединственны,то-βи}

_a^1_{определяютсяиз}

данногоуравненияединственнымобразом,и,следовательно,решениеединственно.