Лекция9 Модулярнаяарифметика(продолжение)КвадратичныевычетыСтепенныевычеты

Продолжимисследоватьвычеты.

Широкоеприменениевкриптографиинашлаформула:

^xn≡amodm,n=2

^xn≡amodp–квадратичныйвычет

_{bсравнимосaпомодулюp,где}

b=^x2

_{(числахиаизинтервала(1-(р-1))}

p-простоечисло,р>2.b≡amodp

Пример

Пустьp=7(рберемиздиапазонавсехпростыхнечетныхчисел,больших2)Всевозможныеостатки:0,1,2,3,4,5,6

Подставимвместоx^

^12≡1mod7

^22≡4mod7

^32≡2mod7=9

^42≡2mod7=16

^52≡4mod7=25

^62≡1mod7=36

Всеостаткиможноразделитьна2класса:

1,2,4–квадратичныевычеты

3,5,6-квадратичныеневычеты

Числоквадратичныхвычетовравночислуквадратичныхневычетовиравно

(p-1)/2

Приложение

Пустьмодульсоставноечислоираскладываетсяна2простыхсомножителя:

m=p*q=5*7=35

α=(p-1)(q-1)/4–числоквадратичныхвычетов,которыеявляютсявзаимнопростымисm

4*6/4=6

^12≡1mod35=1

^22≡1mod35=4

^32≡1mod35=9

^42≡1mod35=16

^52≡1mod35=25

^62≡1mod35=1

^72≡1mod35=14

^82≡1mod35=29

^92≡1mod35=11

…………………..

Числонеповторяющихсявычетов–11

Изнихвзаимнопростыхчиселс35–1,4,9,11,16,29

Длянахожденияквадратичныхвычетовдостаточноперебратьтолькополовину.

КритерийЭйлерадляопределенияявляетсяличислоаквадратичнымвычетом.

^a(p-1)/2≡1modp–элементпринадлежиткклассуквадратичныхвычетовЕсли^a(p-1)/2≡-1modp,тоэлементпринадлежиткклассуквадратичныхневычетов

Степенныевычетыпервообразныйэлемент(корень)

Пустьмыимееммодульm.

Возьмемнекоторыйэлементаиздиапазона:1≤а≤m-1

Иначинаемвозводитьеговстепени:

^a1,a2,…,^a(m)Приэтом(a,m)=1^a(m)≡1modm

^ak≡1modm,гдеk≤φ(m)

kназываетсяпоказателемчислаапомодулюm

Определение.Показателемaпомодулюm(P_m(a)илипростоP(a))

называется наименьшая положительная степень числа a, при которойвыполняетсясравнение:

_aP(a)

_1modm.

_{Из определения следует, что для любых чисел}

_{r1,P(a)1}

_{(натуральныхчисел,меньшихP(a))недолжновыполнятьсясравнениевида}

a^r1modm.

^{Пример2.7.НайтизначениеP}₁₁^{(3).Число5можетбытьпоказателем}

числа3,таккак3^5mod11=(3^4?3)mod11=(4?3)mod11=1,тоесть

₃⁵_1mod11.

Адлячисел

₃^r_mod11≠1:

r1,4

невыполняетсяусловие

3^r1mod11,тоесть

3^1mod11=3≠1;

3^2mod11=9≠1;

3^3mod11=27mod11=5≠1;

3^4mod11=(27?3)mod11=(5×3)mod11=4≠1.

Ответ:показательстепенидлячисла3помодулю11равенP₁₁(3)=5.

Числоa,где(a,m)=1,называетсяпервообразнымэлементом(первообразнымкорнем,порождающимэлементом)помодулюm,еслипоказательaпоэтомумодулюравенφ(m),тоесть

P(a)=φ(m).

Такимобразом,первообразнымэлементомявляетсячислоa,длякотороговыполняетсясравнение:

_a^(m)_1modm,

гдеφ(m)=P_m(a).

Существуетследующийпереборныйвариантпоискапервообразныхэлементов. В качестве кандидатов в первообразные элементы

рассматриваютсявсечисла

a2,m1,которыеудовлетворяютследующим

условиям:

_{1)взаимнойпростотычиселaиm:(a,m)=1;}

_2)a^(m)

_1modm

_или

_a^(m)_modm1;

_3)для

_{r1,(m)1,являющегосяделителемчислаφ(m)(тоесть}

r|φ(m)),выполняетсяусловиеa^r

_1modm.

Замечание2.1.Число1вкачествевариантапервообразногоэлементанерассматривается,таккакприлюбойстепениединицыилюбоммодулебудетвыполнятьсяусловие1^(m)1modm.

Существуетчастныйслучайпереборноговариантапоискапервообразныхэлементов-когдамодульmявляетсяпростымчисломp(вэтомслучаепервообразныеэлементыназываютсяпримитивными

_{элементами).Вкачествевариантовпервообразныхкорнейрассматриваются}

_{всечисла}

_{a2,p1,которыеудовлетворяютусловиям:}

1)взаимнойпростотычиселaиm:(a,m)=1;

_{2)таккакфункцияЭйлера,вычисляемаяотпростогочисла,равна}

_{φ(p)=p–1,то}

_a^p1_1modp

_или

_a^p1_modp1;

_3)для

_{r1,p1,являющегосяделителемчислаφ(p)=p-1(тоесть}

r|p−1),выполняетсяусловие

a^r_1modp.

_{Теорема2.1.Числоa,}

_{a2,p1,будетпервообразнымэлементомпо}

_{простомумодулюp,есливыполняетсяусловие:}

p1

_api

_1modp

дляi0,k1,

_k1



^{гдечислоp–1представленоввидеканоническогоразложенияp–1=pii}

i0

наkпростыхсомножителей,α_i-натуральныечисла.

Приводимыеформулировкитеоремраздела2.3взятыиз[4,11].Пример2.8.Проверитьспомощьютеоремы2.1,чточислоa=10

являетсяпервообразнымэлементомпопростомумодулюp=19.

Числоp–1=19–1=18можноразложитьвканоническийвид:

p−1=18=2?3².

^(p–1)/p₁^{=18/2=9; (p–1)/p}₂^=18/3=6.

Проверим,что

p1

_api

_1modp,i1,2.

Запишем промежуточные результаты вычислений (схема Горнера,раздел1.7).

10^3mod19=1000mod19=12;

10^6mod19=(10^3mod19)^2mod19=(12?12)mod19=144mod19=11;

10^9mod19=(10^6mod19)?(10^3mod19)mod19=(11?12)mod19=

_{=132mod19=18.}

Такимобразом,10^9_1mod19

и10^6_1mod19.

Ответ:числоa=10являетсяпервообразнымэлементомпопростомумодулюp=19.

Общеечислопервообразныхкорнейзадаетсяследующейтеоремой.

Теорема2.2.Числопервообразныхкорней,принадлежащихдиапазону

a2,p1,равно:

-φ(p-1),еслимодульp-простоечисло;

-φ(φ(m)),еслимодульm-составноечисло.

_{Пример2.9.Найтипервообразныйэлементпомодулю54.}

_{Взаимнопростымисчислом54вдиапазоне}

_1,53

_{являютсячисла1,5,}

7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53.ДанныйрядможновычислитьспомощьюалгоритмаЕвклида(раздел1.1).

ИспользуясвойствомультипликативностифункцииЭйлера,вычислимφ(54)поформулеЭйлера(раздел1.6),когдачисло54раскладываетсянакратныесомножители:54=2?3³.Тогдаφ(54)=(2¹−2⁰)?(3³−3²)=1?18=18.Значениеφ(φ(54))=φ(18)=6задаетчислопервообразныхэлементовпо

_{модулю54(теорема2.2).}

Вкачествепеременнойr,удовлетворяющейусловиям

r|φ(m),могутбытьчисла1,2,3,6,9.

r1,(m)1и

Пустьa=5;проверим-являетсялионопервообразнымэлементомпомодулю54.

1)(5,54)=1.

2)Заранеевычислимэлементы5^3mod54,5^6mod54и5^9mod54.

5^3mod54=125mod54=17;

5^6mod54=(5³)^2mod54=(5^3mod54)^2mod54=17^2mod54=289mod

54=19.

5^9mod54=(5³?5⁶)mod54=(5^3mod54)(5^6mod54)mod54=17?19mod54=

_{=323mod54=53.}

_a^(m)_modm

₌₅¹⁸_mod54=(5⁹₎²_{mod54=53?53mod54=1.}

Ввычисленияхбылапримененаформулавычислениямодуляотпроизведениянесколькихчисел(раздел1.4).

3)Проверим,чтоделителичислаφ(m)-r={1,2,3,6,9}-неявляютсяпоказателямичисла5.Запишемсразуответыбезпромежуточныхвычислений,таккакзначениявыраженийбыливычисленывовторомпункте.

₅¹_{mod54=5; 5}⁶_mod54=19;

₅²_{mod54=25; 5}⁹_mod54=53;

₅³_mod54=17.

_{Тоестьдляr={1,2,3,6,9}невыполняетсясравнение:5}^r_1mod54.

Такимобразом,былопоказано,чточисло5являетсяпервообразнымэлементомпомодулю54.

Теорема2.3определяеталгоритмполучениявсехпервообразныхэлементов,еслиизвестенхотябыодинизэтихэлементов.

Теорема2.3.Еслиa-первообразныйэлементпо(простомуисоставному)модулюm,тоостальныепервообразныеэлементымогутбытьнайденыкакчислаa^k,удовлетворяющиеусловиям(a^kmodm,φ(m))=1иk≥2,k-целое.

Пример2.10.ПустьзаданочисловоеполеGF(m)спорядкомm=17.

Проверим,являютсяличисла2и3примитивнымиэлементами,тоестьможнолиспомощьюэтихчиселполучитьвсеостальныеэлементыполя

GF(17).

Дляэтоговозведемчисла2и3встепени

_{Вначалезапишемстепенидвойки.}

i1,m1.

₂¹_mod17=2;

₂²_mod17=4;

₂³_mod17=8;

₂⁴_mod17=16;

₂⁵_mod17=15;

₂⁶_mod17=13;

₂⁷_mod17=9;

₂⁸_mod17=1;

₂⁹_mod17=2;

₂¹⁰_mod17=4;

₂¹¹_mod17=8;

₂¹²_mod17=16;

₂¹³_mod17=15;

₂¹⁴_mod17=13;

₂¹⁵_mod17=9;

₂¹⁶_mod17=1;

Пристепени9начинаетсяповтор(спериодом8)результатов,полученныхранее,тоестьспомощьюэлемента2нельзяполучитьвсеэлементыGF(m),и2неявляетсяпримитивнымэлементомполяGF(m).

_{Рассмотримтеперьстепенитройки.}

₃¹_mod17=3;

₃²_mod17=9;

₃³_mod17=10;

₃⁴_mod17=13;

₃⁵_mod17=5;

₃⁶_mod17=15;

₃⁷_mod17=11;

₃⁸_mod17=16;

₃⁹_mod17=14;

₃¹⁰_mod17=8;

₃¹¹_mod17=7;

₃¹²_mod17=4;

₃¹³_mod17=12;

₃¹⁴_mod17=2;

₃¹⁵_mod17=6;

₃¹⁶_mod17=1;

Здесьпредставленывсененулевыеэлементыданногополя.Тоесть3являетсяпримитивнымэлементомполяGF(m),спомощьюкоторогоможнополучитьвсеостальныеэлементыполя.

Пример2.11.Пустьчислоa=3являетсяпервообразнымэлементомпопростомумодулюp=7.Действительно,дляaвыполняютсяусловия

_a^p1_1modp

_{и(a,p)=1,гдеφ(p)=p−1=7-1=6(вычислениефункции}

Эйлераописановразделе1.6).

Общеечислопервообразныхэлементовможнонайтиизтеоремы2.2.Таккакмодульp-простоечисло,точислоэлементовравноφ(p−1)=φ(6)=φ(2)?φ(3)=1?2=2.

_{Таблица2.5.Поискпервообразногоэлемента}

k	3kmod7	Выполняется(3kmod 7,6)=1?
2	9mod7=2	Нет,числачетные
3	27mod7=6	Нет,числачетные
4	81mod7=4	Нет,числачетные
5	(4?3)mod7=5	Да,числа5и6взаимно простые

Получимнаосновепервообразногоэлементаaдругиепервообразные.Средичиселk≥2найдемтакие,прикоторыхбудетвыполнятьсяусловие(a^k,φ(p))=1или(3^kmod7,6)=1(теорема2.3).Представимрезультатыввидетабл.2.5.Длявычислениярезультатов2-гостолбцаможноиспользоватьсхемуГорнера(раздел1.7),адля3-го–алгоритмЕвклида(раздел1.1).

Такимобразом,наосновепервообразногоэлемента3можнополучитьдругойпервообразныйэлемент3^5mod7=5.

Существуютчастныеалгоритмывычисленияпервообразногоэлементапопростымисоставныммодулям,представленныеввидеследующихтеорем.

Теорема2.4.Пустьp-простоечисло.Еслиaявляетсяпервообразнымэлементомпосоставномумодулюp^α(α≥1),точислоaбудетпервообразнымэлементомипомодулюp.

Теорема2.5.Пустьp-простоечисло.Еслиa-первообразныйэлементпомодулюp,топервообразнымэлементомтакжеявляются:

_{-числоaпосоставномумодулюp}^k_{,есливыполняютсяусловия}

k≥2и

_a(p

1)

_pk2

_1mod

p^k;

-одноизчиселaилиa+pпомодулюp².

Теорема2.6.Пустьp-простоечисло.Еслиa-первообразныйэлементпомодулюp²,точислоaявляетсяпервообразнымэлементомпомодулюp^k,

_k≥2.

Теорема2.7.Любойнечетныйпервообразныйэлементпомодулюp^k

являетсяпервообразнымкорнемипомодулю2p^k,гдеp-простоечислои

k≥1-целое.

Теорема2.8. Первообразные элементы по составному модулю m

существуюттогдаитолькотогда,когда:

1)m=p^k,

2)m=2p^k,

гдеp-простоечислоиk≥1-целое.

Теорема2.9(обобщающая).Первообразныйэлементсуществуеттогдаитолькотогда,когдамодульm{2,4,p^k,2p^k},гдеp-простоечислоиk≥1-целое.

Дополнительныепримерыдлярешения.

1.НайтизначениеP₁₁(7).

2.Найтивсепервообразныеэлементыдлямодуля17.

3.Найтипервыйпервообразныйэлементдлямодуля56.

4.Найтивсепервообразныеэлементыдлямодуля49.

Вопросыдлясамопроверки.

1.Чтотакоепоказательчислаa?Чтотакоепервообразныйэлемент?Вчемразницамеждуэтимидвумяпонятиями?

2.Какимобразомможнопроверить(изопределения),чточислоaявляетсяпервообразнымэлементом,еслимодуль–составноечисло?

3.Какиеалгоритмытеориичиселиспользуютсяпринахождениипервообразногоэлемента?

4.Какимобразомможнопроверить(изопределения),чточислоaявляетсяпервообразнымэлементом,еслимодуль–простоечисло?

5.Какимобразомможнопроверить,чточислоaявляетсяпервообразнымэлементом,еслиp-простоймодульидлячислаp−1заданоканоническоеразложение?

6.Какможновычислитьчислопервообразныхэлементовдлязаданногомодуляm?

7.Какможновычислитьвсепервообразныеэлементы,еслиизвестенхотябыодинизних?

8.Какиесуществуютчастныеалгоритмывычисленияпервообразногоэлементапопростомуисоставномумодулям?

9.Прикакихзначенияхмодуляmможетсуществоватьпервообразныйэлемент?