2.ВозведениенатуральныхчиселпомодулювбольшиестепенипосхемеГорнера

Пустьзадановыражениевида

ya^xmodm, (1.1)

гдеaN-основаниестепени,

xN-степеньвыражения,

mN-числовоймодуль,число,нормирующеевыражениевдиапазоне

[0..m−1],

mod-знакоперациивзятияостаткаотделенияделимогоa^xнаделитель

m,

_{yN-результатвычисленноговыражения,лежащийвдиапазоне}

[0..m−1],

N-множествонатуральныхчисел.

Пустьвсеоперациипроизводятсянаднатуральнымичислами,целочисленно,безокруглений.

Принепосредственномвычислениизначениевыраженияa^xможет

выйтизаразмерымашинногослова(значениякоторогомогутлежатьвдиапазоне[0..2³²−1])ужепрималыхзначенияхaиx,напримерприa=3иx=21.Поэтомунеобходимыдругиемеханизмыполучениярезультата,полагая,чтобудетиспользоватьсямодульнаяарифметика.

СхемаГорнераобладаетследующимиособенностями:

-выражение(1.1)вычисляетсяприограниченияхнадиапазоннатуральныхчиселдляПЭВМ(промежуточныерезультатыберутсяпомодулю);

-каждаяоперацияразбиваетсянаподмножествоэквивалентных;

-используется,вотличиеотпоследовательноговозведениячислаaвстепеньx,меньшеоперацийумноженияиз-заразложениястепенивыражения(1.1)насуммустепенейчисла2.

Десятичноечислоxможнопредставитьввидесуммыединиц,десятков,сотен,тысячит.д.,тоестьввидедесятичногополинома:

^x=x₀^?100+x₁^?101+x₂^?102+...+x_k-1^?10k-1,

^гдеx_i^{=[0..9]-являетсядесятичнымчислом,}

i0,k1,kN-число,такое,

чтоx≤10^k.Например,десятичноечисло50921можнозаписатьввидеполинома:

⁵⁰⁹²¹₁₀^{=5?104+0?103+9?102+2?101+1?100(слеванаправо:5вразряде}

десятковтысяч,0-вразрядетысяч,9-вразрядесотен,2-вразрядедесятков,а1-вразрядеединиц).

Аналогично,можнопредставитьчислоxввидедвоичногочисла

_{(двоичногополинома):}

x=x₀?2⁰⁺x₁?2¹⁺x₂?2²⁺...+x_k-1?2^k-1 или

_k1

^x

i0

i

x2^i, (1.2)

^гдеx_i^{={0,1}-двоичноечисло,}

i0,k1,kN-числодвоичныхразрядов,

необходимоедляпредставлениячислаx(x≤2^k).Например,двоичноечисло

10111можнозаписатьввидеполинома:

10111₂₌1*10⁴⁺0*10³⁺1*10²⁺1*10¹⁺1*10⁰⁽слеванаправо:1вразрядедесятковтысяч,0-вразрядетысяч,1-вразрядесотен,1-вразрядедесятков,а1-вразрядеединиц).

Тогда из формул (1.1) и (1.2), при использовании модульной

_{арифметики,следует,что:}

k1

i

_ya^x_modma^i0Xi2

modm

_

_a2⁰

_{X0modma2}¹

2

_{X1modma2}

_{X2modm...a2}

k1

_{Xk1modmmodm.}

(1.3)

^_

  

^_

Здесьx_iзадаютi-ыедвоичныеразрядыстепениx.

Всхеме Горнера выражение y вычисляется с меньших номеров

_{двоичныхразрядоввсторонувозрастаниястепениi.Членr=}_a^2iX_imodm

_{ }

(i0,k1)из(1.3)приx_i=1нетребуетсявычислятьзаново,ссамого

_{начала, так как его можно получить следующим образом:}

i

__a²

_modm__a

₂i1

2^modm

_{modm,позначениюпредыдущегошага.}

^{   }

АлгоритмработысхемыГорнера.

ОпишемалгоритмсхемыГорнерапошагам.Навход:числаa,x,mN.

_{Навыходе:yNилисообщениеонеприменимостиалгоритма.}

1.Вводсконсолизначенияоснованиястепениa,степениxимодуляm.

2.Еслиm=0,тоделениенаноль,выход.

3.Еслиa=0,торезультатравенy=0,переходкпункту9.

4.Еслиa=1илиx=0,торезультатравенy=1,переходкпункту9.

5.Производимпоискдлячислаxверхнейграницы,являющейсястепеньючисла2:числоkNтакое,чтоx≤2^k,тоестьk≥log_2x.

5.а)Пустьr=2^0иk=0;покаk<32(максимальноечислоразрядов

вмашинномслове)иr≤x,товозводим2встепеньk:r=2^kиувеличиваемk

наединицу.

5.б)Еслиk=0илиk>32,тозадачанерешаетсявустановленныхусловиях,выход(число32обозначаетмаксимальнуюстепеньдвойкидлямашинногослова,тоестьчисло2^32задаетмаксимальноечислоразличныхзначений,которыеможносохранитьвмашинномслове).Иначепункт6.

6.Пустьr=a.Еслистепеньxнечетна(остатокотделенияна2равенединице),тоy=a,иначеy=1.

7.Длявсехi1,k1выполняемследующиедействия:

7.а)r=[(rmodm)·(rmodm)]modm=r^2modm;

7.б)еслиi-ыйбитчислаxравенединицеx_i=1,тоy=(y·r)modm.

8.Выводрезультатаy.Выход.

2

ВычислительнаясложностьсхемыГорнераравнаO(log³⁽x)).

Пример1.13.Необходимочислоa=2возвестивстепеньx=25ипривестирезультатпомодулюm=29.

Тогдаk,удовлетворяющеенеравенствуk>log_2x,равно5.

Числоxпредставимовдвоичнойформекакx=25₁₀₌11001₂.Эточислоявляетсянечетным.

Нашаге6получаем,чтоr=a=y=2.

Далеепредставимшагввидетрассировочнойтабл.1.10:

_{Таблица1.10.Трассировочнаятаблица}

Шагивцикле	Условиеi<k	Значениеxi	r	y
доцикла	-	1	2	2
шагi=1	да	0	4	2
шагi=2	да	0	16	2
шагi=3	да	1	256mod29=24	48mod29=19
шагi=4	да	1	576mod29=25	475mod29=11
шагi=5	нет	-	Выходизцикла

Ответ:y=a^xmodm=11.

_{Дополнительныепримерыдлярешения:}

1)a=7,x=5,m=31.Найти

2)a=3,x=7,m=29.Найти

ya^xmodm

_ya^x_modm

3)a=5,x=11,m=14.Найти

_ya^x_modm

СуществуетдругойвариантсхемыГорнеравозведенияцелыхчиселв

_{большие степени. Степень x также представляется в двоичном виде:}

i

_k1

^x_^x_i²

, x{0,1}. В отличие от первого варианта схемы Горнера

i0

последовательнорассматриваютсядвоичныеразрядычислаxвнаправлениипониженияномераразряда.Тогдавозведениевстепеньможновыполнитьпо

_{следующейсхеме:}

_{k1 i}

^y_a^xmodm_a^{i0xi2modm}

^{(...((((}_a^{Xk1)2modm}_a^{Xk2)2modm}_a^{Xk3)2...}_a^X1)2modm_a^X0modm.

Пример1.14.Вычислимy=a^xmodmприa=9,x=5,m=31.Числоxвдвоичномвидеможнопредставитькакx=5₁₀₌101₂.Тогдаy=a^xmodm=

=(((a^X2)2modm·a^X1)2modm·a^X0)modm=

=(((a¹)^2modm·a⁰)^2modm·a¹)modm=

=((a^2modm)^2modm·a)modm=(9^2mod31)^2mod31·9)mod31=

=(19^2mod31·9)mod31=180mod31=25.

Ответ:y=a^xmodm=25.

Опишем второй вариант схемыГорнера. Пустьпервые 6 шаговсовпадаютсалгоритмомпервоговариантасхемыГорнера.

…

7.Пустьрезультатy=1,переменнаяциклаi=k−1иr=a^2modm.

8.Еслиx_i=1(i-ыйразрядчислаxравен1),тоy=(y^2·r)modm,

иначеy=y^2modm.

9.Вычислитьi=i−1.Еслиi>1,топерейтикшагу8.

10.Еслиx₀₌1(учестьпоследнийбитчислаx),тоy=(y·a)modm.

11.Выводрезультатаy.Выход.

Пример1.15.Вычислимy=a^xmodmприa=5,x=13,m=11.Числоxвдвоичномвидеможнопредставитькакx=13₁₀₌1101₂.

Пустьy=1.Представимвычисленияшагов8-9ввидетрассировочной

табл.1.11.

_{Таблица1.11.Трассировочнаятаблица}

Шаг,i	xi	y
3	x3=1	(1·11)mod14=11
2	x2=1	(112·11)mod14=(9·11)mod14=1
1	x1=0	1mod14=1

Нашаге10будетучтенпоследнийбитчислаx:y=(y·

=(1·5)mod14=5.

_{Ответ:y=a}^x_modm=5.

a^x0)modm=

Вычислитеповторомувариантудополнительныепримеры,представленныевыше.

Примечания.

ДляпрограммнойреализацииалгоритмасхемыГорнератребуетсяосуществлятьпереводстепениxиздесятичнойформыпредставлениявдвоичную.Привводечислаxиегосохранениивмашиннойпеременнойоно

ужебудетпредставленовдвоичнойформе.Поэтомуможнонепереводитьчисла,адляработысотдельнымиразрядами(битами)двоичногочислаиспользоватьпрограммныеметодики,описанныевприложении.

Вопросыдлясамопроверки.

1.ДлячегонужнасхемаГорнера?

2.КакработаетсхемаГорнера?

3.КакимиособенностямиобладаетсхемаГорнера?

4.Какможнопредставитьчисловвидестепенейоснованиясчисления?

5.ЧтодаетразложениестепенивсхемеГорнеравдвоичноепредставление?

6.КакиеограничениянакладываютсянавходныезначениясхемыГорнера?

7.Какможновыполнитьпереводчисласдлинойвмашинноесловоиздесятичнойвдвоичнуюсистемусчисления?

8.КакможновыполнитьвозведениедвойкивстепеньспомощьюкомандЭВМ?

9.КакиематематическиеоперациииспользуютсявсхемеГорнера?

10.Пояснитевторойвариантметодавозведениячиславстепень.