2.2. Напряжение в горных породах под действием сосредоточенной силы
При приложении к горным породам внешних сил в некотором их объеме могут возникать критические напряжения, что и приводит к их разрушению. Внешние силы, определяющие значения критических напряжений, могут быть статическими или динамическими.
В том случае, если возникающие напряжения превышают предел прочности горной породы, происходит нарушение связей между частицами породы и наступает их разрушение.
В
соответствии с теорией упругости под
действием сосре-доточенной силы в
упругом полупространстве возникают
напря-жения, значения которых определяют
по теории Буссинеска. При решении данной
теоретической задачи прини-маются
следующие допущения:
- в качестве объекта рассматривается упругое полу-пространство – упругое тело бесконечно больших размеров, ограниченное с одной стороны бесконечно большой плоскостью;
- площадь контакта внедряемого в упругое полупространство твердого тела (индентора) мала по сравнению с размерами упругого полупространства;
- горная порода представляется как однородное упругое изотропное тело;
- на породу действует только внешняя сила.
Основные положения теории Буссинеска
1. Если к упругому полупространству в точке О приложить сосредоточенную силу Р, перпендикулярно поверхности, то в твердом теле возникает напряженное состояние в объеме сферы (рис. 2.6).
2. В любой точке сферы (А, М, N) напряженное состояние тела характеризуется вектором σ, направленным к месту приложения сосредоточенной силы Р в точке О. Возникающее напряжение в виде суммы векторов σ, может быть представлено в виде нормального – σz и касательного – τzx.
3. В любой точке этой сферы (А, М, N) нормальное напряжение σz, параллельное оси OZ, будет иметь значение:
(2.9)
где x, z - координаты точки, лежащей на окружности.
Касательное напряжение в этой точке соответственно определяется выражением
. (2.10)
Полное напряжение σ, направленное из точки к месту приложения силы Р, будет иметь значение:
(2.11)
где φс - угол между направлением действия силы Р и вектором полного напряжения;
l = ОА - расстояние от точки А до точки приложения силы Р.
И
з
треугольника ОАВ, вписанного в окружность,
определим:
.
(2.12)
После этого получим выражение для расчета полного напряжения:
.
(2.13)
Выводы:
Из выражения (2.13) следует, что полное напряжение в любой точке сферы σ прямо пропорционально силе Р и обратно пропорционально расстоянию l и зависит от угла φс.
На любой горизонтальной площадке, расположенной в пределах поверхности сферы, имеющей диаметр d, полные напряжения σ одинаковы и имеют значения, вычисляемые по формуле (2.13).
Из формулы (2.13) также следует, что чем меньше диаметр сферы d, тем больше полное напряжение на ее поверхности. При бесконечно малом диаметре полное напряжение становится максимальным. Такие сферические напряжения называются сферами равных напряжений.
3
.
Максимальным будет напряжение
непосредственно в точке приложения
вектора усилия Р.
4. Анализ полученных зависимостей показывает, что по оси симметрии Z действуют сжимающие напряжения, а на поверхности полупространства имеет место чистый сдвиг.
При d →0 , напряжение σz→∞. Следовательно, сжимающие напряжения на поверхности из вышеприведенных формул определить нельзя.
Согласно принципу Б. Сен-Венана, сосредоточенную силу Р можно заменить эквивалентной ей распределенной нагрузкой Рр по кругу радиуса а. В этом случае нормальные напряжения определяются на любом расстоянии от поверхности следующей формулой:
(2.14)
Действительно, при z=0 σz=Pp; при z→∞ σz→0.
И
ллюстрацией
линий равных напряжений могут служить
круги на воде, расходящиеся от брошенного
в воду камня, сферы равных напряжений,
зафиксированные при внедрении резца в
твердое тело (рис. 2.7) или линии деформации
в породе, полученные Е.И. Быченковым
(рис. 2.8)
В том случае, если сила Р будет приложена к поверхности породы под углом, то напряжения в массиве распространяются в виде деформированных сфер, форма которых близка к овалу или эллипсу. Разрушение же породы (выкалывание лунки) произойдет в направлении ближайшей свободной поверхности (по направлению действующей силы), что приведет к формированию асимметричной лунки разрушения (рис. 2.9).