13. Инт. Простейших рациональных ф-ций
Будем
считать, что дробь
правильная. Простейшей дробью наз
прав. Рац. дробь одного из следующих 4
типов:
Простейшие дроби 1 и 2 типов инт.
непосредственно
Инт. от прост.
дроби 3 типа приводится к табл.инт.
путем выделения в числителе диф.
знаменателя и приведения знаменателя
к сумме квадратов.
Для
инт. прост. дроби 4 типа преобразуем
трехчлен
.Замена
Тогда
– диаметр разбиения.
Если при этом величина
определенному приделу S,
кот не зависит от выбора т
на
част.отр. и не зависит от способов
разбиения (1), то S
наз площадью данной фигуры
(3) Рассмотренная
задача приводит нас к опреции инт. Ф-ции
на определ.отр. результат наз. определенным
инт. от ф-ции на отр.
(4) – опред.
инт. ГЕометр. Смысл:
- площади криволинейной трапеции,
ограниченной y=f(x),Ox,x=a,x=b.
17. Основные св-ва опред. Инт.
1) Если нижний и вехний пределы равно, то инт.=0
2)
Если f(x)=1,
То
3) При перестановке пределов инт. меняет знак
4) Постоянный множитель можно выносить за знак инт.
5) Опр.инт. от алгеабр.суммы конечного чила интегрир. На отр [a,b] ф-ции = алгеабр. Сумме опред. инт. от слогаемых
6)
Если f(x)>0,
то и
7)
(монотонность опред.инт.) Если
,
то и
8)
(об оценке опред.инт.) Если m
и M
– соот. наименш. и наибол. значения
ф-ции, то выполн. равентво
9)
(т-ма о среднем) Опред.инт. от непрерывн.
ф-ции на отр. равен произведению длины
этого отр. на значение подынтегр. ф-ции
в некот. промежут. т С:
10)
(аддитивность опред.инт.) Если сущ.
и
,
то сущ. и
,
причем
18. Формула Ньютана-Лейбница
Опред.инт.
равен приращению первообразной к
подынтегр. Ф-ции, когда независ.
переменнеая изменяется от нижнего до
верхнего предела.
.
Это
и есть ф-ла Ньютана-Лейбница, она дает
правило вычисления опред.инт.: значение
опред.инт. на отр.
от неперерывной ф-ции равно разности
значений любой ее первообразной,
вычисленной при
и
Это ф-ла может принять вид
Итак,
опред.инт. равен прирощению неопредел.
Этот результат – т-ма Ньютана-Лейбница.
19. Опред.Инт. С переменным верхним пределом
Пусть
в
предел а
зафиксирован