Основные сведения о периодических несинусоидальных токах

Наличие нелинейных элементов, содержащихся в источниках питания и потребителях электрической энергии, является причиной появления периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов в электрических цепях. Периодические несинусоидальные токи способны оказывать неблагоприятное воздействие на работу измерительной аппаратуры, создавать добавочные потери в электрических машинах и аппаратах, вследствие чего возникает дополнительный нагрев и соответствующее снижение их КПД, появляется мешающее воздействие на линии связи. Вместе с тем в системах автоматического управления, вычислительной технике, телевидении, радиотехники и т.д. широко используются устройства, предназначенные для получения периодических несинусоидальных напряжений и токов. Несинусоидальные токи возникают и при выпрямлении синусоидального тока в постоянный.

В процессе анализа электрической цепи с периодическими несинусоидальными токами кривые несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов, удовлетворяющие условиям Дирихле, представляется возможным разложить в гармонический ряд Фурье.

Кривая периодического несинусоидального напряжения, действующего на зажимах электрической цепи, может быть описана следующим тригонометрическим рядом

.

Аналогичным рядом может быть описана и кривая периодической несинусоидальной ЭДС в электрической цепи

.

Под действием периодического несинусоидального напряжения или несинусоидальной ЭДС в электрической цепи возникает соответствующий периодический несинусоидальный ток:

.

Постоянные составляющие несинусоидального напряжения, ЭДС и тока равны их средним значениям за период :

; ; ,

Здесь , , – амплитудные значения основной (первой) гармоники несинусоидального напряжения, ЭДС и тока; ,…, , ,…, , ,… – амплитудные значения высших гармоник периодических несинусоидальных напряжений, ЭДС и тока; , ,…, ; , ,…, ; , ,…, – начальные фазы первой и высших гармоник напряжения, ЭДС и токов.

Действующие значения периодических несинусоидальных напряжения, ЭДС и тока приняты равными среднеквадратичным их значениям за период :

; ; .

Активная мощность электрической цепи периодического несинусоидального тока определяется как среднее значение мгновенной мощности за период :

.

С учетом приведенных выше выражений для мгновенных значений периодических несинусоидальных тока и напряжения после их подстановки и интегрирования получим выражение для активной мощности цепи как сумму мощности постоянной составляющей и мощностей гармонических составляющих:

.

Здесь углы сдвига фаз между соответствующими гармоническими составляющими напряжений и токов: ; ; .

При этом реактивная мощность может быть рассчитана как сумма реактивных мощностей гармонических составляющих:

.

Полная мощность электрической цепи периодического несинусоидального тока определяется как произведение действующих значений несинусоидального тока и несинусоидального напряжения

.

Совокупность амплитудных значений и начальных фаз гармонических составляющих при разложении напряжения, ЭДС или тока в ряд Фурье называется спектром.

Спектр изображается двумя диаграммами, из которых одна называется амплитудно-частотным спектром (АЧС), а другая – фазочастотным спектром. На этих диаграммах ось абсцисс образует шкалу частот , а по оси ординат для каждой -й гармоники откладываются отрезки, длина которых пропорциональна их амплитуде (для АЧС, рис. 8.1,б) или начальной фазе (для ФЧС, рис. 8.1,в).

Можно исключить начальные фазы гармоник из ряда Фурье, если использовать преобразование

.

Теперь ряд Фурье принимает вид

.

Рис. 8.1. Периодическое несинусоидальное колебание и его гармоники:

а – временные диаграммы; б – АЧС; в – ФЧС

Амплитуды гармонических составляющих

, ,

, ,

и .

Разложим в ряд Фурье последовательность прямоугольных импульсов напряжения длительностью , частотой и амплитудой (рис. 8.2,а).

а

б

в

г

д

Рис. 8.2. Временные диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов (а) и ее гармонических составляющих (б-д)

Если отчет времени вести от середины импульса, то временная функция четная и ряд Фурье содержит только постоянную (рис. 8.2,б) и косинусные составляющие: первой гармоники (рис. 8.2,в), второй гармоники (рис.8.2,г), третьей гармоники (рис. 8.2,д) и т.д.

Для точного воспроизведения последовательности импульсов требуется бесконечное число гармоник, каждая из которых имеет определенные амплитуду и начальную фазу.

Рис. 8.3. Изменение формы последовательности импульсов по мере увеличения числа содержащихся в ней гармоник

Действительно, только неограниченное количество гармоник, суммированных алгебраически, может быть равным нулю в интервалах между импульсами и равным в течение длительности каждого импульса. Но никакая реальная цепь не пропускает бесконечно широкий спектр. Поэтому неизбежны искажения импульсов. На рис. 8.3 показано, как по мере прибавления к постоянной составляющей (n=0) первой (n=1), второй (n=2), третьей (n=3), …, восьмой (n=8) гармоник интевалы между импульсами все более расширяются, фронты и срезы импульсов становятся более крутыми, пульсации импульсов сглаживаются. Очевидно, что минимальное число гармоник, необходимое для качественного воспроизведения импульсов, тем больше, чем меньше длительность и больше период следования импульсов.

При расчете и анализе электрических цепей периодического несинусоидального тока используют принцип наложения, в соответствии с которым периодическое несинусоидальное напряжение или ЭДС источника питания можно представить в виде совокупного воздействия нескольких последовательно соединенных источников. Периодический несинусоидальный ток определяется как сумма токов, обусловленных постоянной составляющей и гармоническими составляющими периодических несинусоидальных напряжений или ЭДС в данной электрической цепи. Причем переменные составляющие тока, соответствующие каждой из гармоник, определяют по методам расчета цепей переменного тока, а постоянную составляющую тока – по методам расчета цепей постоянного тока.

Для проведения расчета ток или напряжение должны быть представлены рядом Фурье. Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой ветви схемы равно сумме мгновенных значений тонов отдельных гармоник (так же и напряжение). Расчет производят для каждой из гармоник в отдельности.

Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от действия постоянной составляющей э.д.с. , или источника тока , после этого – токи и напряжения от действия первой гармонии , затем от второй гармонии , от третьей и т.д. При расчете токов и напряжений , возникающих от действия постоянной составляющей э.д.с. , необходимо иметь в виду , что падение напряжения на индуктивности L от постоянного тока равна нулю , а также что постоянный ток через емкость С не проходит.

При этом должно быть принято во внимание, что реактивное индуктивное сопротивление электрической цепи для данной гармоники тока с возрастанием порядка высших гармоник увеличивается по сравнению с его значением , соответствующим первой гармонике тока, пропорционально номеру высшей гармоники, т. е. . В это же время реактивное емкостное сопротивление электрической цепи для данной гармоники тока с возрастанием порядка высших гармоник уменьшается по сравнению с его значением , соответствующим первой гармонике тока, обратно пропорционально номеру высшей гармоники, т. е. . Активное сопротивление электрической цепи для данной гармоники тока вследствие относительно небольших частот высших гармонических составляющих тока, имеющих место на практике, принимается равным его значению, соответствующему основной гармонике тока, т.е. .

Если воздействующая э.д.с. не синусоидальна, то в электрической цепи могут возникнуть резонансные режимы не только на первой гармонике, но и на высших гармониках. Резонанс на k-гармонике I_K cовпадает по фазе с U_K, а I_i не совпадает с U_i. Исследование резонансных явлений при несинусоидальных токах часто производят, полагая активные сопротивления индуктивных катушек равными нулю. В этом случае входное сопротивление при резонансе токов равно , а сопротивление при резонансе напряжений равно нулю. При возникновении резонансного режима на какой-либо высшей гармонике токи и напряжения этой гармоники могут оказаться большими, чем токи и напряжения первой гармоники на участке цепи, несмотря на то , что амплитуда соответствующей высшей гармоники э.д.с. на входе схемы может быть в несколько раз меньше амплитуды первой гармоники э.д.с.