МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

_________________________________________________________________________

Н.А. Ерзакова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПОСОБИЕ

к практическим занятиям

и

контрольные задания

для студентов II курса

специальности 230401

дневного обучения

Москва — 2010

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ”

______________________________________________________________

Кафедра прикладной математики

Н.А. Ерзакова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПОСОБИЕ

к практическим занятиям

и

контрольные задания

для студентов II курса

специальности

"Прикладная математика"

дневного обучения

Москва — 2010

ББК 22.161.5

Е70

Рецензент д-р техн. наук, проф. В.Л. Кузнецов

Ерзакова Н.А.

Е70       Дифференциальные уравнения: Пособие к практическим занятиям и контрольные задания.- М.: МГТУ ГА, 2010. – 60 с.

Пособие содержит изложение ключевых моментов курса дифференциальные уравнения (ДУ), примеры с решениями, задачи для контрольных работ, задачи для самостоятельного решения с ответами.

Рассматриваются как линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ), так и нелинейные ДУ. Завершают пособие тест и таблица интегралов.

Данное пособие издается в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ЕН.Ф.01.05 "Дифференциальные уравнения" по Учебному плану для студентов специальности 230401 "Прикладная математика". Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры Прикладной математики (протокол № 1 от 31.08.10) и методического совета (протокол № 1 от 31.08.10).

Редактор

______________________________________________________________________

Подписано в печать

Печать офсетная Формат 60x84 1/16 уч.-изд. л.

…… усл. печ. л. Заказ №. Тираж 300 экз.

____________________________________________________________________

Московский государственный технический университет ГА

125993 Москва, Кронштадский бульвар, д. 20

Редакционно-издательский отдел

125493 Москва, ул. Пулковская, д. 6а

 Московский государственный

технический университет ГА, 2010

Содержание

Введение....................................................................................................................	4
1. Общая теория ДУ первого порядка. Общее, частное и особое решение.........	5
2. Применение ДУ для решения физических и геометрических задач...............	6
3. Теорема Коши для ДУ первого порядка..............................................................	7
4. ДУ с разделяющимися переменными..................................................................	10
5. Однородные ДУ. Уравнения, приводимые к однородным уравнениям...........	12
6. ЛДУ. Уравнения Бернулли...................................................................................	15
7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель..............	17
8. Уравнения, не разрешенные относительно , Лагранжа, Клеро, Риккати.....	20
9. ДУ n-го порядка. Теорема Коши. Простейшие случаи понижения порядка...	24
10. ЛДУ n-го порядка. Определитель Вронского...................................................	27
11. Характеристическое уравнение. Уравнение Эйлера........................................	29
12. Метод вариации произвольных постоянных….................................................	33
13. Неоднородные ЛДУ. Метод неопределенных коэффициентов......................	36
14. Задача Коши для системы ДУ. Фазовое пространство...................................	39
15. Сведение системы ДУ к одному уравнению более высокого порядка...........	41
16. Линейные однородные системы. Фундаментальная система решений..........	42
17. Системы ЛДУ. Алгебраический подход..…......................................................	43
18. Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения.....................	46
19. Простейшие типы точек покоя. Вещественные собственные значения.........	49
20. Простейшие типы точек покоя. Комплексные собственные значения...........	51
21. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости...............................	54
22. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости....................................	55
23. Функция Ляпунова. Теорема Четаева о неустойчивости................................	56
Приложение 1. Таблица основных интегралов.......................................................	58
Приложение 2. Тест...................................................................................................	58
Список литературы...................................................................................................	60

Введение

Со времен Ньютона и Лапласа общие законы, управляющие физическим миром, формулируются в виде так называемых дифференциальных уравнений.

Дифференциальными уравнениями описываются и движение планет в солнечной системе и вращение волчка и движение электронов в атоме и электрические колебания в радиогенераторе и распространение волн и многое другое. Идет ли речь о вычислении движения искусственного спутника, расчете атомного реактора, поведении корабля при качке или моста под действием динамической нагрузки – все это требует использование дифференциальных уравнений.

К дифференциальным уравнениям прибегают в любом случае, когда приходится изучать неравномерно протекающий процесс, т.е. процесс, в котором скорость изменения самих величин меняется с течением времени или зависит от значения самих величин.

К дифференциальным уравнениям приводятся многие задачи геометрии, механики, физики, гидравлики, аэродинамики, теплотехники, сопротивления материалов, теории упругости, электротехники и других наук.

Проиллюстрируем вышесказанное на примере.

Установить зависимость между переменной массой летящей ракеты и скоростью полета.

Пусть масса ракеты в некоторый момент равна , скорость истечения газов обозначим через , а выделяемую за время массу частиц . В данном случае , так как массы ракеты убывает. За время ракета потеряет в весе количество топлива, равное . Допустим, что за счет этого ракета получает приращение скорости . Увеличение количества движения ракеты массы равно , а количество движения выброшенных газов есть . На основе закона сохранения количества движения имеем: , а это есть дифференциальное уравнение. Путем простых преобразований уравнения получим формулу, имеющую фундаментальное значение в современной ракетной технике: , откуда . Пусть - масса ракеты до полета, т.е. при . Тогда и . Отсюда - формула Циолковского К.Э., основная при расчете движения ракет. Однако эта формула пригодна для пустого пространства и при отсутствии действия силы тяжести. Учет сопротивления воздуха и земного притяжения намного усложняет дифференциальное уравнение. Уравнения, возникающие при расчете космических запусков, весьма сложны и решаются только с помощью ЭВМ.

В предложенном пособии автор использовал уже имеющийся опыт (см. список литературы [1-10]) по преподаванию данной дисциплины. Знак  в некоторых случаях заменяет слово “ответ” или означает конец рассуждений.

1. Общая теория ду первого порядка. Общее, частное и особое решение

Пусть - независимая переменная, а - зависимая переменная (функция от ). Обыкновенное дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее неизвестную функцию одной переменной, ее производные и независимую переменную или .

Порядком дифференциального уравнения (ДУ) называется порядок наивысшей производной в данном уравнении.

Всякая функция , определенная на некотором интервале , называется решением (частным решением) дифференциального уравнения, если после подстановки этой функции и ее производных в уравнение, оно обращается в тождество на всем интервале.

Замечание. В некоторых случаях решение дифференциального уравнения удается найти в виде неявной функции, заданной равенством .

Равенство , которое неявно определяет решение дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Сначала рассмотрим уравнение первого порядка:

. (1)

Функция , где - произвольная постоянная, называется общим решением дифференциального уравнения, если является решением дифференциального уравнения при любом значении (из множества допустимых значений).

Соответственно, равенство , которое неявно определяет общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения называется особым, если через каждую точку, изображающей его интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную.

Особое решение не может быть получено из общего решения ни при каком значении .

Пример. Найти все решения уравнения .

Решение. Запишем

.

Общее решение:

Особым решением уравнения является , поскольку не может быть получено из общего решения ни при каком значении . 

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторое направление, то получается поле направлений.

Изоклинами называют геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих уравнению , где - постоянная.

Другими словами, изоклины – это линии, в каждой точке которых наклон касательных к искомым интегральным кривым сохраняет постоянное направление.

Чтобы приближенно построить решение (по методу изоклин) уравнения (1), нужно начертить достаточное число изоклин, а затем провести решение.