§ 2. Математические модели экономико-математических задач

В данном параграфе рассмотрим несколько примеров задач линейного программирования, к которым приводятся математические модели реальных экономических задач.

Пример 2.1 (задача о банке). Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами состав­ляют 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн долл. должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвид­ными активами банка, так как в случае непредвиденной потреб­ности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно. Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует пра­вило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем приме­ре ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны состав­лять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Обозначим через – средства (млн долл.), размещенные в кредитах, – средства, вложенные в ценные бумаги. Согласно условию задачи имеем следующую систему линейных ограничений:

В этой системе ограничений неравенство (1) означает балансовое ограничение, неравенство (2) означает кредитное ограничение, неравенство (3) - ликвидное ограничение. Цель банка состоит в том, чтобы получить максиальную прибыль от кредитов и ценных бумаг. В результате получаем целевую функцию (функцию прибыли банка)

, (4)

где c₁ – доходность кредитов, с₂ – доходность ценных бумаг, причем так как кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно полагают c₁ > с₂.

Итак, получена задача линейного программирования с ограни­чениями (1) – (3) и целевой функцией (4), которую требуется максими­зировать.

Пример 2.2 (задача об использовании ресурсов). Предприятие имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные ресурсы, площади и т.п. Допустим, что ресурсы трех видов имеются в количестве соответственно условных единиц. Предприятие выпускает три вида товаров . Причем известно, сколько единиц каждого ресурса требуется для производства единицы каждого товара. Пусть – число единиц ресурса R_i (i=1, 2, 3), необходимое для производства единицы товара (j =1, 2, 3). Доход, получаемый предприятием от единицы каждого вида товаров, соответственно равен . Требуется при данных ресурсах выпустить такую комби­нацию товаров, при которой доход предприятия будет макси­мальным.

Обозначим через соответственно количество товаров . При этом доход предприятия выражается функцией

.

Общее количество ресурса (i=1, 2, 3), используемого при выпуске товара (i=1, 2, 3), равно . Оно не должно превосходить

запаса (i=1, 2, 3), то есть

.

Тогда математическая задача об использовании ресурсов состоит в определении неотрицательных значений , удовлетворяющих системе

и максимизирующих целевую функцию дохода .

Пример 2.3 (транспортная задача). Уголь, добываемый в нескольких месторождениях, отправляется потребителям: заводам, электростанциям и т.п. Известно, сколько угля добывается в каждом из месторождений, и сколько его требуется каждому из потребителей; расстояния между месторождениями и потребителями, а также условия сообщения между ними. В результате можно подсчитать, во что обходится перевозка каждой тонны угля из любого месторождения в любой пункт потребления. Требуется, при этих условиях спланировать перевозки угля таким образом, чтобы затраты были минимальными.

Предположим для определенности, что имеются два месторождения и три потребителя . Количество угля в месторождениях равны соответственно . Запросы потребителей равны соответственно . Считаем, что суммарные запасы равны суммарным потребностям (так называемое условие сбалансированности):

.

Наконец, заданы числа ( ), представляющие собой стоимость перевозки тонны угля из месторождения ( ) поставщику ( ). При этом необходимо определить шесть неотрицательных чисел ( ), где количество угля, предназначенное к отправке из ( ) к ( ). Составим таблицу:

				Всего отправлено
Всего доставлено

Общее количество угля, вывезенное из месторождения ( ) должно равняться ( ). Отсюда имеем условие

( ).

Общее количество угля, доставленное потребителю ( ) должно равняться ( ). Отсюда имеем условие

( ).

Предполагается, что затраты на перевозку прямо пропорциональны количеству перевозимого угля, то есть перевозка из ( ) в ( ) стоит . Тогда общие затраты по всем перевозкам будут

.

Таким образом, приходим к следующей задаче линейного программирования, которую называют транспортной задачей линейного программирования (ТЗЛП):

,

Заметим, что ТЗЛП – это особая задача линейного программирования, для решения которой (для нахождения оптимального плана перевозок) применяются специальные методы. Подробно с методами решения ТЗЛП мы познакомимся в главе 2.