§10. Экономическая интерпретация решения злп

В этом параграфе рассмотрим экономическую интерпретацию решений взаимно двойственных задач и основных теорем теории двойственности.

Рассмотрим математическую модель задачи об оптимальном использовании ресурсов:

(10.1)

где – запас -го сырья ( ), – стоимость одной единицы -го продукта ( ), – норма расхода -го сырья на производство одной единицы -го продукта, – вектор-столбец управляющих переменных, – количество единиц -го продукта.

Экономический смысл задачи (10.1): сколько и какой продукции ( ) нужно произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции ( ), объемах имеющихся ресурсов ( ) и нормах их расходов максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.

Оптимальный план ЗЛП (10.1) состоит из управляющих и балансовых переменных . Если управляющая переменная ( ) в оптимальном плане, то соответствующий ей продукт производится в объеме единиц. Если управляющая переменная ( ) в оптимальном плане, то соответствующий ей продукт не производится, его производство не выгодно предприятию.

Если в оптимальном плане задачи (10.1) содержится балансовая переменная ( ), то соответствующий ей -ый ресурс является недефицитным, а значение показывает величину недоиспользованного ресурса. Если же в оптимальном плане задачи (10.1) балансовая переменная ( ), то соответствующий ей ресурс является дефицитным (полностью потребляется в производстве).

Рассмотрим двойственную задачу к задаче (10.1):

(10.2)

где управляющие переменные выполняют роль двойственных оценок ресурсов прямой задачи (10.1).

Сформулируем экономический смысл двойственной задачи (10.2). Какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов ( ), чтобы при заданных запасах ( ), ценах единицы продукции ( ) и нормах расходов минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.

Если в оптимальный план задачи (10.2) оценка вошла с положительным значением ( ), то соответствующий -ый ресурс является дефицитным. Если же в оптимальном плане задачи (10.2) оценка равна нулю, то соответствующий -ый ресурс является недефицитным.

Пример 10.1 [17]. На основании информации, приведенной в таблице 10.1, составить оптимальный план производства, максимизирующий объем прибыли. Выполнить экономическую интерпретацию решения прямой задачи и соответствующей двойственной задачи. Выделить дефицитные и недефицитные ресурсы.

Табл. 10.1.

Ресурсы	Затраты ресурсов на единицу продукции		Наличие ресурсов
	А ( )	Б ( )
Труд	2	4	2000
Сырье	4	1	1400
Оборудование	2	1	800
Прибыль на единицу продукции	40	60

Экономико-математическая модель задачи имеет вид

где количество продуктов А и Б соответственно.

В результате решения ЗЛП с естественным базисом из балансовых переменных получена результирующая таблица 10.2.

Табл. 10.2

БП	СЧ
	200	0	0		1
	200	1	0		0
	400	0	1		0	–
		0	0		0

Из табл. 10.2 следует, что ЗЛП имеет следующий оптимальный план

.

Так как в оптимальный план обе управляющие переменные вошли с положительными значениями, то предприятию выгодно производить оба вида продукта в объемах единиц. Балансовая переменная в оптимальный план вошла с положительным значением, что означает, что соответствующий ресурс (сырье) является недефицитным. Труд и оборудование являются, наоборот, дефицитными ресурсами.

Составив и решив соответствующую двойственную задачу, получим следующее оптимальное решение

Так как , то ресурс труд более дефицитен, чем ресурс оборудование. Наиболее выгодно увеличение объемов ресурсов труда.

Замечание 10.1. Если прямая задача (10.1) решена симплекс-методом с естественным базисом из переменных , то решение соответствующей двойственной задачи может быть найдено по формуле

, (10.3)

где – матрица, обратная к матрице , являющейся матрицей коэффициентов базисных переменных системы ограничений прямой задачи (10.1) (то есть тех переменных, которые в результате решения симплекс-методом вошли в оптимальный план), – вектор-столбец размера коэффициентов при базисных переменных целевой функции в оптимальном решении прямой задачи.

В примере 10.1 основная матрица канонической ЗЛП имеет вид

.

В оптимальный план прямой задачи вошли переменные (см. табл. 10.2). Значит, матрица составлена из первого, второго и четвертого столбцов матрицы . Тогда имеем:

, .

Заметим, что матрицу можно найти непосредственно из результирующей симплекс-таблицы. Для этого достаточно выписать матрицу коэффициентов при дополнительных переменных.

Вектор-столбец имеет вид .

По формуле (10.3) находим оптимальное решение двойственной ЗЛП:

Сформулируем экономические интерпретации основных теорем теории двойственности.

Экономическая интерпретация основного неравенства теории двойственности: для любого допустимого плана производства и любого допустимого вектора оценок ресурсов общая созданная стоимость не превосходит суммарной оценки ресурсов ( ).

Экономическая интерпретация первой теоремы двойственности: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного в результате реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов ( ). Для всех других планов и оценок ресурсов обеих задач цена произведенной продукции всегда меньше суммарной оценки затраченных ресурсов.

Двойственные оценки ресурсов выступают как инструмент балансирования затрат и результатов экономической системы. Они гарантируют рентабельность оптимального плана, то есть равенство общей оценки продукции и ресурсов обусловливает убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального плана. Величина характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок ресурсов. При оптимальной производственной программе и оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю, то есть предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получать максимальную прибыль, или продать ресурсы по оптимальным ценам и выручить от продажи минимальные затраты на ресурсы.

Рассмотрим экономический смысл второй теоремы двойственности. Из второй теоремы двойственности и условий дополняющей нежесткости

( ) (10.4)

( ) (10.5)

следуют требования на оптимальную производственную программу и оптимальный вектор оценок .

Условия (10.4) можно интерпретировать так: если по некоторому оптимальному плану производства расход ресурса -го вида строго меньше запаса ( ), то в оптимальном плане соответствующая оценка единицы этого ресурса равна нулю; если же в некотором оптимальном плане оценок величина положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью (расход этого ресурса равен его запасу , ресурс является дефицитным). Из условий (10.5) следует, что если -й вид продукции вошел в оптимальный план ( ), то он в двойственных оценках не убыточен ( ). Если же -й вид продукции убыточен, то он не войдет в оптимальный план, не будет выпускаться ( ).