§9. Основные теоремы теории двойственности

В основе теории двойственности лежат основные теоремы. Рассмотрим для определенности симметрическую пару ДЗЛП. Пусть прямая задача записана в следующем матричном виде

, , , (9.1)

где – вектор-столбец коэффициентов целевой функции, – вектор-столбец управляющих переменных ( , ), – матрица коэффициентов при управляющих переменных, – вектор-столбец свободных членов.

Соответствующая ДЗЛП к прямой задаче (9.1) имеет вид

, , , (9.2)

где – вектор-столбец управляющих переменных двойственной задачи ( , ).

Лемма 9.1 (основное неравенство теории двойственности). Для любых допустимых решений и пары взаимно двойственных задач (9.1), (9.2) справедливо неравенство

. (9.3)

□ Пусть , – допустимые решения задач (9.1), (9.2) соответственно. Умножим систему ограничений прямой задачи на вектор-столбец слева:

.

Умножим систему ограничений двойственной задачи на вектор-столбец справа:

.

Тогда получим , то есть для допустимых решений и задач (9.1) и (9.2) соответственно выполняется неравенство (9.3). ■

Лемма 9.2. Если для допустимых решений и пары взаимно двойственных задач (9.1), (9.2) выполняется равенство , то

и являются оптимальными решениями соответствующих задач.

□ В силу неравенства (9.3) для любого допустимого решения задачи (9.1) выполняется неравенство , то есть . Это означает, что , то есть является оптимальным решением задачи (9.1). Аналогично показывается, что является оптимальным решением задачи (9.2). ■

Теорема 9.1 (первая теорема двойственности). Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций совпадают: , или . Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива (а значит, задача не имеет оптимального решения).

Теорема 9.2 (вторая теорема двойственности, теорема равновесия). Пусть , есть оптимальные решения задач (9.1) и (9.2) соответственно. Тогда для векторов , выполняются равенства

( ) (9.4)

( ). (9.5)

□ Пусть , есть оптимальные решения задач (9.1) и (9.2) соответственно. При этом согласно теореме 9.1 . Умножим неравенство слева на вектор :

.

Умножим неравенство справа на вектор-столбец :

.

Так как , то . Тогда из доказанного выше получим

.

Итак, . Расписывая покоординатно это равенство, получим равенства (9.4). Аналогично доказывается справедливость равенств (9.5). ■

Равенства (9.4) и (9.5) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует:

1) если какое-либо неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в строгое равенство оптимальным решением этой задачи, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи должна равняться нулю;

2) если какая-либо компонента одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным решением должно обращаться в строгое равенство, то есть

если , то ; если , то ; (9.6)

если , то ; если , то . (9.7)

Теоремы 9.1 и 9.2 позволяют найти оптимальное решение одной из пары задач по решению другой.

Пример 9.1. Найти оптимальное решение ДЗЛП для прямой ЗЛП

,

учитывая, что , .

Решение. Соответствующая ДЗЛП имеет вид

.

Воспользуемся равенствами (9.6): так как , то первое ограничение в системе неравенств ДЗЛП выполняется как равенство:

.

Аналогично, так как , то

.

Так как , то второе ограничение в системе неравенств ДЗЛП выполняется как строгое неравенство:

.

Итак, имеем следующую систему для определения оптимального решения ДЗЛП:

(9.8)

Воспользуемся теперь равенствами (9.7). Подставим компоненты оптимального решения в систему ограничений прямой задачи:

В силу того, что , система (9.8) принимает вид

Решая последнюю систему, получим . Тогда вектор-столбец оптимального решения имеет вид . При этом

.

Пример 9.2. Найти оптимальное решение ДЗЛП для прямой ЗЛП

,

учитывая, что , .

Решение. Соответствующая ДЗЛП имеет вид

.

Так как , , , то воспользовавшись равенствами (9.6), получим систему для определения оптимального решения ДЗЛП:

Воспользовавшись равенствами (9.7), получим: .

Согласно первой теоремой теории двойственности, имеем равенство

.

Следовательно, , то есть

.

Получаем систему для определения оптимального решения ДЗЛП:

(9.9)

Решая из системы (9.9) первые три уравнения, получим структуру оптимального решения ДЗЛП:

,

где . Используя неравенство в системе (9.9), получим

.

Учитывая тот факт, что , неравенство выполняется.

В результате заключаем, что ДЗЛП имеет бесконечное множество оптимальных решений (ДЗЛП имеет альтернативный оптимум)

, .