22. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

Доказательство

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. (**)

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы:p₁ = 0,8; p₂ = 0,7; p₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Р е ш е н и е. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A₁(попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия) и A₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям A₁, А₂ и А₃ (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

q₁ = l — p₁ = l — 0,8 = 0,2; q₂ = l — p₂ = l — 0,7 = 0,3;

q₃ = 1 — p₃ = 1 — 0,9 = 0,l.

Искомая вероятность

P (A) = 1 — q₁q₂q₃ = 1 — 0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,994

23. Полная вероятность. Формула Байеса. Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

вероятность события Авычисляется по формуле полной вероятности:

Теорема Байеса, Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны. Названа в честь ее автора, преп. Томаса Байеса (посвященная ей работа «AnEssaytowardssolving a ProblemintheDoctrineofChances» впервые опубликована в 1763 году,[1] через 2 года после смерти автора). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Формула Байеса:

где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

Пример расчёта

Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего — , а у третьего — . Первый изготовил деталей, второй — деталей, а третий — деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?