25. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения.
ЛДУ 1го порядка с постоянными коэффиц имеет вид: y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+any=f(x) (1), где аi-const. Пусть система ф-ий φ1(x),…φn(x) определена на отрезке [a,b].
C1φ1(x)+C2φ2(x)+…,Сnφn(x), где Ci-const.
Система ф-ий φ1(х),…,φn(x) назыв линейной независимой,если ни одну из этих ф-ий нельзя представить в виде линейной комбинации ост-х(это означает,что,напр, φ1=k1φ2+k2φ3+…+kn-1φn, одна ф-ия выразилась через остальные).В частности это означает,что ни одна из ф-ий этой системы≠0. Две ф-ии явл линейнонезависимыми, если φ2/ φ1 ≠const.
Теорема(о структуре общ реш-я)линейного однородго ур-ия nго порядка (f(x)=0)
Рассматривается ур-е y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+any=0 (2)
Если y1,y2,…yn-линейнонезависимые частные реш-я ур-я (2), то общее реш-е будет иметь вид: y=C1y1+C2y2+…+Cnyn. Усл-ем линейной независимости частных реш-й служит
V(y1,y2,…,yn)=
≠0
26. Рассм линейное однородное ур-е с постоянными коэффициентами n-го порядка.Д/нахождения его общего решения составляем характеристическое ур-е: rn+a1rn-1+a2rn-2+…+an=0. Имеет место след-е утверждение: 1)К каждому k-кратному корню Rсоответствуют k частных решений вида: erx, xerx, x2erx,…xk-1erx.
2)
К каждой паре t
кратных комплексно сопряженных корней
вида r1=α±iß
соответствуют
2t
частных
решений вида
{;
Отыскание частного реш-я неодн.ур-я (1), где f(x) имеет вид: f(x)=eαx(Pn(x)cosßx+Qm(x)sinßx) производится по тем же правилам,что и д/неоднор ур-я 2го порядка,т.е частное реш-е будет иметь вид: (x)=eαx(Ts(x)cosßx+Rs(x)sinßx)xk, где k-кратность корня характеристич ур-я α±iß
27.Метод вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим
метод, позволяющий находить частные
решения линейного неоднородного
уравнения, где
-
любая функция.
Рассмотрим уравнение второго порядка:
(*)
Пусть соответствующее однородное уравнение (**) имеет решение вида:
,
где
и
- произвольные постоянные.
Будем
искать решения уравнения (*)
в
виде
(***), где
и
-
неизвестные ф-ии, а
и
-
известные частные реш-я урав-ия (**).
Т.к. определению подлежат 2 ф-ии и , то одним из соотношений м/у ними мы можем распорядиться произвольно. Продифференцируем равенство (***):
.
Положим
,
тогда
.
Продифференцируем
еще раз:
и подставим в уравнение (*):
Получаем 2 соотношение для и .Т.о. получаем систему для опред-ия и :
Из
этой системы мы определим
и
,
а затем интегрированием этих функций
находим сами функции
и
.
Числовые ряды. Сумма ряда. Простейшие свойства рядов.
Положительные ряды. Признаки сходимости.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
Свойства степенных рядов.
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение в ряд Тейлора функций
Разложение в ряд Тейлора функций
.Применения степенных рядов.
Дифференциальные уравнения, решение ДУ, теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся к однородным. Примеры.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Общее решение.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение.
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.