12) Основные теоремы двойственности.

Теоремы двойственности позволяют установить взаимосвязь между оптимальными решениями пары двойственных задач: можно либо найти оптимальное решение другой задачи, не решая ее, либо установить его отсутствие. Возможны следующие случаи: обе задачи из пары двойственных имеют оптимальные решения; одна из задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, а другая – ввиду несовместности системы ограничений.

Первая теорема двойственности. Для двойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих случаев:

В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: ; В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым; Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости): Пусть – допустимое решение прямой задачи, а – допустимое решение двойственной задачи. Для того, чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Эти условия устанавливают связь между оптимальными значениями прямой и двойственной задач и позволяют, зная решение одной из них, находить решение другой задачи.

Теорема об оценках: Значения переменных в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений – неравенств прямой задачи на величину :

Диапазон изменения компонент вектора , в котором сохраняется оптимальный базис, называется областью устойчивости оптимальных оценок.

Экономический смысл первой теоремы двойственности следующий. План производства и набор ресурсов оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, определенная при известных заранее ценах продукции , равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам ресурсов . Для всех других планов прибыль от продукции всегда меньше или равна стоимости затраченных ресурсов , т.е. ценность выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки затраченных ресурсов. Значит, величина характеризует производственные потери в зависимости от рассмотренной производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

13) Объективно обусловленные оценки и их смысл.

Объективно обусловленные оценки термин, употребляемый для обозначения частных производных целевой функции, взятых по отношению к ограничениям в задачах линейного или выпуклого программирования. Введён советским учёным Л. В. Канторовичем в 1959 и в основном используется при решении экономических задач методами математического программирования. Аналогичен терминам «оптимальные оценки», «двойственные оценки», «теневые цены», «разрешающие множители». О. о. о. в экономических задачах показывают, к каким экономическим результатам приведёт появление в хозяйственном процессе дополнительной единицы того или иного производственного компонента. Размерность О. о. о. соответствует размерности критерия оптимальности (натуральные или натурально-условные единицы измерения, денежные и т.д.). О. о. о. объективно вытекают из условий постановки и решения экономической задачи и целиком обусловлены совокупностью тех конкретных хозяйственных факторов, которые учтены при математической формализации производственно-экономической деятельности. Поэтому они являются эффективным средством анализа текущей хозяйственной деятельности, позволяют выявить и количественно оценить «узкие места», а при предположении некоторой устойчивости О. о. о. дают возможность наметить направления улучшения показателей работы хозяйственного объекта.

         В зависимости от характера постановки задачи О. о. о. могут отражать производственно-экономические условия деятельности отдельных участков (цехов), предприятий, отраслей, отдельных районов и народного хозяйства в целом. В последнем случае полученные оценки теоретически могут быть интерпретированы как цены оптимального народно-хозяйственного плана или как общественные (рентные) оценки ресурсов (природных, фондов, труда). Они характеризуют приращение критерия оптимальности социалистической системы (прирост благосостояния и уровня удовлетворения общественных потребностей), вызванное приростом производства того или иного вида продукции (или приращения ресурса), а также характеризуют предельно допустимый размер затрат на производство дополнительной единицы этой продукции. Это свойство О. о. о. сохраняют лишь в условиях малых хозяйственных изменений, и их значения, как правило, меняются вместе с разработкой и изменением планов развития производства. Органическая связь О. о. о. с планом четко прослеживается в экономико-математических задачах любого уровня, не только в статических, но и в динамических моделях, где они дают возможность сопоставления разновременных затрат и эффектов.