13) Докажите, что следующие формулы являются тавтологиями( законами) алгебры высказываний

1) закон заключения

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

14. Приведите примеры рассуждений (утверждений), основанных на правилах, соответствующих законам алгебры высказываний, которые перечислены в упражнений 13.

15.Сформулируйте следующие теоремы в виде необходимого (достаточного) условия

1) Джентльмен- воспитанный человек

2)вертикальные углы равны

3) в точке дифференцирования функция непрерывна

4) число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9

5)автоответчик отслеживает телефонные звонки

6) если вы чувствуете беспокойство, то не паникуйте

7) если сумма квадратов действительных чисел a и b равна нулю, то a=0 и b=0

8) самогипноз снимает напряжение

9) диагонали ромба взаимно перпендикулярны

10) улыбка ребенка очаровательна

16. Вставить пропущенные слова(необходимо, достаточно, необходимо и достаточно) так, чтобы получились верные высказывания:

1)Чтобы избавиться от вредных привчек,… обратиться к экстрасенсу

2)Чтобы диагностировать эмоциональные связи в коллективе,… методики социометрических тестов

3)чтобы быть терпимым,… быть сдержанным

4)чтобы дифференцируемая функция возрастала на , чтобы её производная на этом промежутке была положительной

5)чтобы сумма двух чисел была четной, … чтобы каждое слагаемое было четным числом

6)чтобы четырехугольник был ромбом,…. чтобы его диагонали были перпендикулярны

7) чтобы углы были равны, …чтобы их стороны были попарно параллельны

8)чтобы четырехугольник был прямоугольник,…., чтобы его диагонали были равны

9)чтобы работать педагогическим психологом, …заниматься совершенствованием методом обучения

10)чтобы сравнить между собой показатели наблюдений,… применить корреляционный анализ.

17. Установите, верны ли следующие высказывания:

1)Чтобы сделать выводы, достаточно провести наблюдения

2) чтобы достигнуть гуманизации в обучении, необходимо выявить индивидуальные особенности учащихся

3)чтобы ребенок улыбнулся

Лекция 2.Основные схемы логически правильных рассуждений.

Любой процесс получения новых значений, выраженных высказываниями, из других знаний, также выраженных высказываними, называется рассуждением (умозаключением). Исходные высказывания называются посылками (гипотезами, условиями), а получаемые высказывания – заключением (следствием).

Наиболее употребимые схемы логики правильных рассуждений:

1) Утверждающий модус (форма).

Если из А следует В и А – истина, то и В – истина:

2) Правило отрицания (отрицательный модус).

Если из А следует В, но В – ложь, то и А – ложь:

3) Правило утверждения – отрицания.

Если справедливо или А, или В (в разделительном смысле) и истина одно из них, то другое - ложно:

4) Правило отрицания – утверждения.

а) если истина или А, или В (в разделительном смысле) и неверно одно из них, то другое – истинно:

б) если истина А или В (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то другое – истинно:

5) Транзитивность.

Если из А следует В, а из В следует С, то из А следует С:

6) Закон противоречия.

Если из А следует и В, и не В, то неверно А:

7) Правило контропозиции.

Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует, что неверно А:

8) Правило сложной контропозиции.

Если из А и В следует С, то из А и не С следует не В:

9) Правило сечения.

Если из А следует В, а из В и С следует Д, то из А и С следует Д:

10) Правило импортации (объединение посылок).

11) Правило экспортации (разъединение посылок).

12) Правило дилемм:

а) б)

в) г)

Примеры неправильных рассуждений:

а) ; б) ; в)

Для того,чтобы проверить, является ли данное умозаключение логически правильным, следует восстановить схему рассуждения и определить, относится ли она к схемам логически правильных рассуждений. Однако такая проверка осложняется тем, что схем логически правильных рассуждений бесконечное множество. Для проверки правильности рассуждений может быть использован метод доказательства от противного ( закон противоречия – правило 6), однако такая проверка может оказаться трудоемкой

Задача 1. К каким схемам относятся следующие рассуждения:

1) Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил задание. Он не выполнил задание. Следовательно, он отсутствовал на работе:

Обозначим в скобках каждое из простых высказываний первого рассуждения:

(А) – если рабочий отсутствовал на работе

(В) – он не выполнил задание

(В) – он не выполнил задание

(А) – следовательно, он отсутствовал на работе

Схема данного рассуждения относится к схеме а) неправильных рассуждений, следовательно, это рассуждение неверно.

2) Этот человек студент или предприниматель. Он студент. Следовательно, не предприниматель.

(А) – этот человек студент

(В) – предприниматель

(А) – студент

(В) – не предприниматель

Учитывая то, что в первом предложении союз ИЛИ использован в неразделительном смысле, схема данного рассуждения имеет вид:

Схема соответствует схеме (В) неправильных рассуждений, поэтому данное рассуждение является неправильным.

3) Этот человек постоянно живет в Москве или в Санкт-Петербурге. Он живет в Москве. Следовательно, он не живет в Санкт-Петербурге.

(А) – этот человек постоянно живет в Москве

(В) – в Санкт-Петербурге (А) – живет в Москве

(В) – он не живет в Санкт-Петербурге

Рассуждение правильное, так как его схема представляет правило правильных рассуждений (см. правило 3а)

4)Сегодня понедельник или вторник. Сегодня вторник. Следовательно, сегодня не понедельник.

(А) – сегодня понедельник, (В) – вторник

(В) – сегодня вторник (А) – не понедельник

Рассуждение правильное, так как его схема представляет правило правильных рассуждений (см. правило 3б)

5) Написать логической формулой следующее заключение:

«Если фирма приглашает на работу крупного специалиста в области новейшей технологии (А), то она считает ее привлекательной (В) и разворачивает работы по изменению технологии производства своего традиционного продукта (С) или начинает разработку нового продукта (D).

Конкурирующая фирма пригласила на работу крупного специалиста в области новейшей технологии. Следовательно, она разворачивает работы по изменению технологии производства выпускаемого продукта или разработки нового продукта» Уточнить справедливость данного умозаключения.

С учетом принятых обозначений умозаключение примет вид:

«если А, то (В и (С или D)). А Следовательно, С или D»

Используя логические связки, получим окончательно:

((А → (В  (С  D)))  A) → (C  D)

Для проверки правильности умозаключения восстановим схему рассуждения и сравним ее со схемой правила заключения (1).

В соответствии с этим правилом истинно заключение В  (С  D). Конъюнкция двух высказываний В и (C  D) истинна, если истинны оба высказывания. Полагая, что В – истинно (что видно из контекста), истинно также (C  D). Таким образом, данное умозаключение верно при истинности В.

6) Записать логической формулой следующее изложение сериала:

«Если Марианна – не дочь дона Педро, то либо Хосе Игнасиас – отец Марианны, либо Луис Альберто – не ее брат. Если Луис Альберто – брат Марианны, то Марианна – дочь дона Педро и Хосе Игнасиас лжет. Если Хосе Игнасиас лжет, то либо Луис Альберто – не брат Марианны, либо Хосе Игнасиас – ее отец. Следовательно, Марианна – дочь дона Педро.

Обозначим

А – Марианна – дочь Педро

В – Луис Альберто не Брат Марианны

С – Хосе Игнасиас – отец Марианны

D – Хосе Игнасиас лжет.

Получим:

(((А) → (С  В))  (В → (A  D))  (D → (C  B))  (A  C)) → A

Упражнения.

1.К каким схемам рассуждений относятся следующие рассуждения:

а) Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил задания. Он отсутствовал на работе. Следовательно, он не выполнил задание.

б) Петров женат на Марье Ивановне или Лукерии Ильиничне. Он женат на Марье Ивановне. Следовательно, он не женат на Лукерии Ильиничне.

В) Идет дождь или снег. Идет дождь. Следовательно, не идет снег.

Г) Если при выполнении программы отклонение контролируемых параметров превышает предусмотренные нормы(стандарты), то требуется оперативная корректировка программы или уточнение стандарта. Выявленное отклонение превышает стандарты. Следовательно, требуется корректировка программы или уточнение стандартов.

Являются ли данные рассуждения логически правильными?

2. Записать логической формулой следующие умозаключения и уточнить их справедливость.

А) «Если фирма ориентирована на усиление маркетинга и сети распределения, то она намерена получать крупную прибыль на выпуске новых товаров. Если фирма предусматривает открытие более крупных магазинов и расширение торговой сети, то она намерена получить крупную прибыль на выпуске новых товаров. Фирма предусматривает усиление маркетинга и сети распределения или собирается открыть более крупные магазины и расширить торговую сетью. Следовательно, она намерена получить крупную прибыль на выпуске новых товаров.

Б) Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастет. Следовательно, правительственные расходы возрастут.

В) Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей.

Лекция № 3

Логические законы и правила преобразования логических выражений.

В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентые преобразования логических выражений.

1) Закон тождества.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

2) Закон непротиворечия.

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным; если высказывание А – истинно, то его отрицание должно быть ложным, следовательно логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложным:

3) Закон «исключения третьего».

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение – истина:

4) Закон двойного отрицания.

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

5) Законы де Моргана.

6) Закон коммутативности.

Можно менять местами логические переменные при операциях логического сложения и умножения:

7) Закон ассоциативности.

Если в логическом выражении используется только операция логического сложения или только операция логического умножения, то можно скобками пренебречь или произвольно их расставить:

8) Закон дистрибутивности.

В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Алгебра логики (АЛ).

АЛ, как раздел математической логики, изучает строение сложных логических высказываний (логических формул) и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Основными объектами, изучаемыми в этом разделе, являются формулы АЛ, которые состоят из букв, знаков логических операций и скобок.

Буквы обозначают логические (двоичные) переменные, которые принимают только 2 значения (истина и ложь).

Знаки операции обозначают логические операции (логические связки).

Каждая формула задает логическую функцию от логических переменных, которая сама может принимать только 2 значения.

Пусть В={0,1} – бинарное множество, элементами которого являются формальные символы 0 и 1, не имеющие арифметического смысла и интерпретируются как {да, нет}, {истина, ложь}.

Алгеброй логики называется алгебра, образованная множеством В={0,1} вместе со всеми возможными операциями на нем.

Функцией АЛ (логической функцией) f(n) переменных f(x₁,…x_n) называется n-арная логическая операция f:Bⁿ→B.

Множество всех логических функций (логических операций) обозначается р₂, множество всех логических операций n-переменных обозначается р₂(n). Любую логическую функцию f(x₁,…x_n) можно задать таблицей истинности, в левой части которой записаны все возможные наборы значений ее аргументов х₁,х₂,…х_n, а правая часть является столбцом значений функций, соответствующих этим наборам.

Набор значений переменных, на которых функция принимает значение f=1, называется единичным набором функции f.

Множество всех единичных наборов называется единичным множеством функции f. Аналогично нулевым набором и нулувым множеством.

Количество всех возможных различающихся комбинаций значений n-переменных функции f(x₁,…x_n) равно 2ⁿ.

Количество всех различных функций n-переменных равно числу возможных расстановок нулей и единиц в столбце с 2ⁿ строками, т.е. .

Большое значение в АЛ играют логические функции 1 и 2 переменных – унарные и бинарные логические операции. Они очень просто интерпретируются логическими связками (не, или, и, … и т.д.), которые часто используются при рассуждениях. Множество всех логических функций одной переменной – унарных логических операций можно представить таблицей истинности р₂(1)=4.

Таблица 1.

x	φ0	φ1	φ2	φ3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1
	0	x		1

Рассуждаем так: при х=0 φ₂=1, значит φ₂= ;

при х=1 φ₂=0, значит φ₂= ;

φ₁(х)=х – повторение переменной (переменная);

φ₂(х)= - отрицание переменной;

φ₀, φ₃ – константы (0,1 – значения этих функций не зависят от переменной х, тогда говорят, что переменная х является несущественной (фиктивной) для них.

Представим таблицей множество логических функций двух переменных – бинарных логических операций: р₂(2)=2²ⁿ=2⁴=16.

Логические функции трех и более переменных задаются и таблицами истинности, и формулами, состоящими из символов переменных и знаков унарных и бинарных операций.

Пример:

Здесь функция трех переменных задана формулой, состоящей из символов этих переменных, над которыми выполняются: одна унарная - операция отрицания и 3 бинарных операции: дизъюнкция, импликация и конъюнкция.

Значение любой логической формулы, содержащей знаки этих операций, можно вычислить для любого набора значений переменных, используя таблицу 1 и 2.

Вывод: формула, наряду с таблицей служит способом задания и вычисления функции.

В общем случае формула описывает логическую функцию как суперпозицию других более простых функций.

Эквивалентными (равносильными) называются формулы, представляющие одну и ту же функцию. Установить эквивалентность двух формул можно так:

1. по каждой формуле устанавливается таблица истинности;

2. полученные таблицы сравниваются по каждому набору значений переменных.