Теорема (критерий открытости и замкнутости множеств).

1) Для того, чтобы множество было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнениебыло замкнутым.

2) Для того, чтобы множество было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы его дополнениебыло открытым.

§4.6. Компакты.

ОпределениеМножествоназывается компактом, если из любой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке из этого же множества.

Теорема (критерий компакта).

Для того чтобы множество было компактом необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто и ограничено.

Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.

Функция, непрерывная на компакте:

1)ограничена на нем;

2)достигает на нем свое наибольшее и наименьшее значения.

не ограничена и нет наибольшего значения

§4.7. Классификация разрывов функции.

Функция непрерывна в точке, тогда разрывность в точке

2)Если в точке, то говорят, что в точкеразрывность первого рода или устранимый разрыв: если переопределить значение функции в точкеи назначить это значение равное, то получим непрерывную функцию.

Пример:

Пусть - не непрерывная функция

- функция станет непрерывной

1)Если в точкепредел не существует или равен бесконечности, то говорят, что в этой точке разрыв второго рода.

Если - внутренняя точка, тогда непрерывность в точкеравносильна непрерывности как справа, так и слева, значит разрывность в точкеравносильна наличию разрыва либо справа, либо слева.

Определениеимеет в точкеразрыв первого рода справа (слева), если

- разрыв второго рода

- разрыв

- непрерывность

ОпределениеДвусторонний разрыв в точкеназывается разрывом первого рода, если односторонние разрывы в этой точке только первого рода и разрывом второго рода, если хотя бы одна из односторонних – разрыв второго рода.

§5. Производные функции.

§5.1. Понятие производной.

. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1.Пусть материальная точка движется по направляющей прямой по закону. В начальный момент времениточка находилась в состоянии. В момент времениточка переместилась в положение.

Мгновенной скоростью движения в момент времени называется

(1)

Задача 2 (об угле наклона касательной).

Пусть дана плоская кривая .

Предельное положение секущей при называется касательной.

(2)

.

ОпределениеПусть- функция, определенная на множестве. Производной функциив точкена множественазывается

Формула (1) – механический смысл производной (мгновенная скорость).

Формула (2) – геометрический смысл производной (угол наклона касательной).

. Производная основных элементарных функций.

1) ;

2) ; рассмотрим- функция имеет смысл при любых таких

3)

4)

=

5)тригонометрические функции

=

Лекция №9

§5.2. Основные правила вычисления производной

Теорема (о производной результатов арифметических действий)

Пусть иопределены на множествеи имеют в точкеконечные производные,тогда:

1)

2)

3)

Следствия из теоремы:

Следствие 1:

Следствие2:

Следствие 3: Константу можно выносить за знак предела

Производные обратной функции.

Теорема.

Если существуют обратные однозначные к функции и существует конечная производная в точке,анепрерывна в точке, то существует производная обратной функции в точкеравная(1).

Геометрический смысл теоремы:

Производная сложной функции.

Теорема.

Пусть

1)

2) конечные производныеи

тогда

Пример:

§5.3. Связь между существованием производной и касательной.

а) Если в точке существует наклонная касательная к графику функции, то в этой точке существует конечная производная(параграф5.1.,задача 2)

б)Докажем, что если существует, то существует касательная в этой точке ()

,т.е в любом случае касательная в точкесуществует

в)Существование наклонной касательной в точкеравносильно существованию конечной производной в точке. В пункте б) показано, что существование производной влечет существование касательной, причем, еслибесконечна, то касательная вертикальна ( параллельна оси)

Замечаем, что из существования касательной еще не следует существование производной. С учетом пункта а) это относится к случаю вертикальной касательной.

Пример:

Односторонние пределы и производные.

Определение 1 Предельное положение секущей приназывается правой (левой) касательной к графику функции.

Определение 2Правой (левой) производной функциив точкеназывается

Существование двусторонней производной равносильно существованию и совпадению обеих односторонних производных. Связь между существованием производной и касательной с одной стороны остается прежней.

Односторонняя производная всегда существует. Двусторонняя не всегда.