Теорема 1(первый достаточный признак)

Пусть -внутренняя точка области определения функции инепрерывна в точке, тогда:

а) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точкемаксимум.

б) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точкеминимум.

в) если при переходе через точку производная знак не меняет, то в этой точке экстремума нет, т.е. функция в этой же точке монотонна.

Замечание.Требование непрерывности опускать нельзя.

Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)

Если точка - внутренняя точка области определения функции и, тогда, если, то в точкестрогий минимум, и если, то в точкестрогий максимум.

Доказательство:

Пусть. Т.к., то- строго возрастает в точке, и т.к., то при переходе через точкуона меняет знак с минуса на плюс и согласно первому достаточному признаку в этой точке минимум.

§7.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Пусть определена и непрерывна на, тогда, согласно теореме Вейерштрасса, она принимает на этом промежутке наибольшее наименьшее значения в какой-то точке. Эта точка может быть либо на границе промежутка, либо внутри. В последнем случае в этой точке будет экстремум и следовательно эта точка попадет в число подозрительных на экстремум. Таким образом, для нахождения наибольших и наименьших значений функции можно вычислить значения на концах промежутка, в точках экстремума и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения. Если исследование на экстремум затруднительно, то можно вычислить значение функции в точках подозрительных на экстремум и на концах промежутка.

Замечание (для любых промежутков ).Если известно, что внутри промежутка достигается наибольшее (наименьшее) значение функции и внутри промежутка всего одна точка подозрительная на экстремум, то это и будет точка, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример. Дан квадрат со стороной . Какие нужно сделать вырезы, чтобы объем коробкибыл максимальным?

Т.к. точка подозрительной точкой на экстремум не является, т.к. она на конце промежутка, то единственная подозрительная на экстремум точка-точка максимума.

§7.4. Направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

Рассмотрим функцию , для которой- внутренняя точка области определения функции, причем(эти предположения будем считать выполненными везде в данном параграфе). Тогда существует касательная в точкеи уравнение касательной имеет вид:

Определение 1. Еслитакая, что точки графика прилежат в верхней (нижней) полуплоскости, то говорят, что в точкеграфик направлен вогнутостью вверх (вниз). Если же с одной стороны отточки графика лежат в верхней полуплоскости, а с другой стороны лежат в нижней полуплоскости, то график имеет перегиб.

Введем вспомогательную функцию:

Определение2.График функции направлен в точкевогнутостью вверх, если функцияимеет в точкеминимум; график функции направлен в точкевогнутостью вниз, если функцияимеет в точкемаксимум; и в точкеперегиб графика, еслимонотонна.

Лекция №14.

Теорема 1 (первый достаточный признак направления вогнутости).

Пусть функция строго возрастает в точке. Тогда в точкефункция направлена вогнутостью строго вверх. Если же функцияв точкестрого убывает, то в точкеграфик направлен вогнутостью вниз.