Теорема 1.

. Пусть , тогда для того, чтобы функциябыла непрерывна в точкеотносительнонеобходимо и достаточно, чтобы она была непрерывно в точкекак слева, так и справа.

Теорема 2(о непрерывной монотонной функции).

Если функция монотонна на множествеи, тобудет непрерывна во всех.

Теорема 3(о непрерывности функции обратной к строго монотонной)

Функция, обратная к строго монотонной, определенная на промежутке, является непрерывной во всех точках области определения.

§4.3. Непрерывность элементарных функций.

Основные элементарные функции.

а) -непрерывна на всем .

б) -непрерывна на всем

в) - строго монотонна, область значения промежутка. Следовательно по теореме 2( параграф4.2, )функция будет непрерывна во всех точках области определения.

г)гиперболические функции

-непрерывные как комбинации непрерывных функции.

д)тригонометрические функции

Рассмотрим функцию

(см. док-во первого замечательного предела)

для всех, в том числе

принепрерывность функции доказана.

- непрерывная функция как комбинация сложных функций.

- непрерывна на всех промежутках вида

- непрерывна на всех промежутках вида

- непрерывна на всех промежутках вида

- непрерывна на всех промежутках вида

Обратные тригонометрические функции непрерывны по теореме 3 (параграф 4.2.)

§5.2. Основные правила вычисления производной.

Теорема (о производной результатов арифметических действий)

Пусть иопределены на множествеи имеют в точкеконечные производные

Лекция №8.

. Т.к. элементарные функции получаются из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и композиций, то все эти функции снова являются непрерывными во всех точках своей области определения.

§4.4. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.

Теорема 1.

Если:

1) непрерывна на

2)- значения разных знаков,

то

Геометрический смысл:если непрерывная кривая переходит с одной стороны осина другую, то она пересекает эту ось. Другого быть не может.

Теорема 2.

Если:

1)определена на

2)

то для

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию, тогда эта функция непрерывна как разность непрерывных функций.и- значения разных знаковпо теореме 1

Замечание: ни одно из условий теоремы не может быть нарушено.

Пример,когда не выполнено условие непрерывности в теореме 1.

§4.5. Открытые и замкнутые множества.

Определение 1Точканазывается внутренней для множества, если она ему принадлежит вместе с некоторой окрестностью.

Определение 2Множествоназывается открытым, если любая его точка является внутренней для этого множества.

открытое множество

не открытое множество из-за точки

Определение 3Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои конечные предельные точки.

не открытое и не замкнутое множество

- замкнутое множество

Есть множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми: .

ОпределениеДляего дополнением называется множество- разность множеств, т.е. множество точек из, не входящих в множество(- дополнение к множеству).