8.2 Теоремы Чебышева

 

Теорема 8.1. Первая теорема Чебышева, называемая иногда просто «законом больших чисел» состоит в следующем.

Пусть имеется СВ X с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x.

Над этой СВ X производится n независимых опытов, в результате которых она принимает значения X₁, X₂,…,X_n (n «экземпляров» случайной величины X). Рассматривается среднее арифметическое всех этих значений, зависящее от n:

.

Случайные величины Y_n образуют последовательность. Первая теорема Чебышева утверждает, что она сходится по вероятности к МО СВ X:

,          (4)

т.е.

  .   (5)

 

Т. е. среднее арифметическое полученных в n независимых опытах значений СВ сходится по вероятности к её математическому ожиданию при n→∞.

Эта теорема может быть записана и в другом виде: обозначим , получим:

,   

и вообще, если СВ Y_n при n→∞ сходится, по вероятности к постоянной a, то это значит, что разность между Y_n и a при n→∞ сходится по вероятности к 0.

 

Теорема 8.2. Вторая теорема Чебышева. Первая теорема Чебышева относилась к случаю, когда все СВ X₁, X₂,…,X_n были независимы и имели одно и то же распределение, a значит, одно и то же математическое ожидание m_x и одну и ту же дисперсию D_x.

Теперь рассмотрим случай, когда условия независимых опытов меняются, т. е. их результаты представляют собой неограниченную последовательность независимых СВ X₁, X₂,…,X_n... с различными, в общем случае, математическими ожиданиями  и дисперсиями  (i=1,2,…,n,…).

Теорема 8.3. Если все дисперсии  ограничены сверху одним и тем же числом D:

≤ D          (i=1,2,…,n,…),                                                     

то разность между средним арифметическим полученных значений случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю.

                   (6)

 

Замечание. Может возникнуть вопрос: почему в этом слечае мы не говорим, что среднее арифметическое полученных значений случайных величин при n→∞ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий (так иногда и формулируется 2-ая теорема Чебышева)? Потому что в данном случае как , так и зависят от n, а понятие «сходимость по вероятности» определено нами только для постоянной величины a, не зависящей от n.

Следовательно,

   (7)

Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые величины.

8.3. Закон больших чисел для разных условий опыта (теорема Маркова)

 

Теорема Маркова. Если СВ X₁,…,X_n – зависимые СВ с математическими ожиданиями  и дисперсиями , удовлетворяющими условию ≤D , то разность между их средним арифметическим и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к 0:

.    (8)

Закон больших чисел (первая и вторая теорема Чебышева) имеет два следствия.

 

Рассмотрим два следствия закона больших чисел без доказательств.

 

1. Теорема Бернулли. (простейшая форма закона больших чисел)

При неограниченном возрастании числа n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p, частота события A сходится по вероятности к его вероятности p.

        (9)

или       

   ,

где ε – сколь угодно малое положительное число,     

  .

Более того:   

или   ,   .

Теорема Бернулли относится к случаю, когда все опыты производятся в одинаковых условиях, и вероятность появления события A во всех них одна и та же и равна p.

К более общему случаю, когда вероятности p₁, p₂,…p_n,… различны, относится теорема Пуассона.

Пусть производится неограниченное число n независимых опытов, в каждом из которых может появиться событие A, причём его вероятность в i-ом опыте равна p_i.