8.1. Закон больших чисел

Закон больших чисел объединяет теоремы (Чебышева, Бернулли, Маркова, Пуассона), утверждающие, что при большом числе испытаний или большом числе случайных величин средний результат сходится по вероятности к некоторой постоянной. Одна из основных задач теории вероятностей – установление закономерностей между происходящими событиями с вероятностями, близкими к 1. Эти закономерности возникают в результате наложения большого числа независимых событий.

Физическое содержание закона больших чисел может быть сформулировано так:

при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестаёт быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определённости.

В теоремах, которые носят общее название закона больших чисел указываются условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных величин приводит к результату, почти не зависящему от случая. Для практики очень важно знание этих условий, т. к. оно позволяет предвидеть ход явлений.

Свойство случайных величин  при определенных условиях вести себя практически как неслучайные позволяет предсказывать результаты массовых явлений почти достоверно.

Под законом больших чисел понимают любое предположение, утверждающее с вероятностью сколь угодно близкой к 1, что наступит некоторое событие, зависящее от сколь угодно большого числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние.

При доказательстве теорем относящихся к закону больших чисел используется:

1)     понятие сходимости по вероятности;

2) Неравенство Чебышева.

8.1.1.Сходимость по вероятности.

Пусть имеется последовательность случайных величин: X₁, X₂,…,X_n. Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине a, если при неограниченном увеличении n вероятность события , где  - произвольное малое фиксированное число, стремится к 1:

.

Иначе говоря, каковы бы ни были произвольно малые наперед заданные числа и , всегда найдется такое большое число N, что для всех номеров, начиная с N

                  (n>N)     (1)

Сходимость по вероятности обозначается знаком  или иногда применяется обозначение .

 

8.1.2. Неравенство Чебышева

Для любой СВ X, имеющей математическое ожидание m_x и дисперсию D_x справедливо неравенство:

,            (2)

где α – любое положительное число.

 

Это неравенство (2) ограничивает сверху вероятности больших отклонений СВ X от её математического ожидания.

Оно показывает, что для любой СВ X, имеющей конечную дисперсию D_x, при любом положительном α, вероятность того, что отклонение СВ X от её математического ожидания m_x будет не меньше α (т. е. ≥ α) ограничена сверху числом D_x/ α².

 

Пример  8.1. Оценить сверху вероятность того, что СВ X с любым законом распределения отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на 3δ_x, где .

Решение

Воспользуемся неравенством Чебышева, полагая  α=3δ_x:

,  т. е.

,

т. е. для любой СВ X (для любого закона распределения) вероятность невыполнения «правила трёх сигм» не превышает 1/9.

 

Рассмотрим различные формы закона больших чисел. Во всех этих формах утверждается устойчивость средних: при неограниченном увеличении числа опытов n их средний результат приближается (сходится по вероятности) к некоторому постоянному неслучайному числу.