3. Геометрическое распределение

На практике геометрическое распределение появляется в следующих условиях. Вновь рассмотрим схему Бернулли. Пусть производится ряд независимых опытов, с целью получения какого-то результата (“успеха”) A. При каждой попытке (опыте) “успех” достигается с вероятностью p. Случайная величина Х – число безуспешных попыток (до первой попытки, в которой появляется результат A).

Х – дискретная случайная величина, принимающая значения 0,1,2, … , m, …

Вероятность события   можно определить по формуле:

  (5)

0<p<1, q=1-p; m=0,1,2…

Случайная величина X имеет геометрическое распределение.

Вероятности P_m для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членомp и знаменателем q.

Действительно,

P{X=0} = P {первая же попытка успешна}=p

P{X=1} = P {первая же попытка безуспешна, вторая успешна}=qp,

…

P{X=m}=P {первые m попыток безуспешные, (m+1)-я успешна}=q^mp

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

 

xi	0	1	2	3	…	m	…
P{X=xi}=pi	p	qp	q2p	q3p	…	qmp	…

 

1.4. Гипергеометрическое распределение

Говорят, что случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами a, b, n если ее возможные значения 0, 1, …, m, …, a имеют вероятности:

 (m=0,1,2, …, a)              (6)

Гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется урна, в которой a белых иb черных шаров. Из нее вынимается n шаров. Случайная величина X – число белых шаров среди вынутых (вероятность P_m=P{X=m} – вероятность вынуть m белых шаров). При a и b , a/(a+b)=pгипергеометрическое распределение приближается к биномиальному с параметрами n и p. В этих условиях nзависимых опытов, состоящих в вынимании n шаров из урны, содержащей a белых и b черных шаров, становятся практически независимыми, а вероятность появления белого шара от опыта к опыту не меняется и остается равной p=a/(a+b).

Гипергеометрическое распределение применяется практике при решении задач, связанных с контролем продукции.

 

2. Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.

2.1. Равномерное распределение (закон равномерного распределения – закон равномерной плотности).

Говорят, что СВ Х имеет равномерное распределение на участке от a до b, если ее плотность f(x) на этом участке постоянна .

Следовательно, каждое из значений х СВ Х равновероятно на участке (a,b), т.е. плотность вероятности на этом интервале постоянна, а вне его равна 0:

.

Значение f(x)  в крайних точках a и b участка (a,b) не учитываются, т.к. вероятность попадания в любую из этих точек для НСВ равна 0.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (a,b); в связи с этим равномерное распределение иногда называют «прямоугольным».

Рисунок 5.12

Найдем значение с.

Следовательно,

         или

 

Рисунок 5.13

2.1.1. Примеры равномерного распределения

1. Распределение ошибки квантования при представлении чисел

Равномерное распределение имеют и ошибки, возникающие от округления данных при расчетах (в частности, на ЭВМ).

Производится измерение какой-то величины с помощью прибора с грубыми делениями. В качестве приближенного значения измеряемой величины берется:

a)     ближайшее целое;

b)    ближайшее меньшее целое;

c)     ближайшее большее целое.

Рассматривается СВ Х – ошибка измерения. Так как ни одно из значений СВ ничем не предпочтительнее других, естественно, что СВ Х распределена равномерно:

в случае а) – на участке (-1/2; +1/2);

в случае b) – на участке (0; 1)

в случае c) – на участке (-1; 0)

(в качестве 1 берется цена деления)

2. В современной вычислительной технике при моделировании случайных процессов часто используется СВ Х, имеющая равномерное распределение в пределах 0 до 1:

.

Эта величина, которую коротко называют «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом, из которого путем соответствующих  преобразований получаются СВ с любым заданным распределением.