2. Теорема Пуассона

Теорема Пуассона утверждает, что при n→∞ разность между частотой событий A и средним арифметическим его  вероятностей сходится по вероятности к нулю:

или

.

 

Закон больших чисел во всех его формах имеет большое значение в практических применениях вероятностных методов, в частности, в инженерной практике.

Для нахождения числовых характеристик функций случайных величин (например ошибок приборов и механизмов) зачастую не требуется знание законов распределения аргументов, а достаточно знать их числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию (матрицу ковариаций). Каждая из этих характеристик есть не что иное, как математическое ожидание какой-то СВ, в частности ,  , а на основании закона больших чисел можно каждое из этих математических ожиданий приближённо заменить средним арифметическим полученных значений соответствующей СВ при достаточно большом числе опытов. Можно даже оценить ошибку, вытекающую из такой замены.

Теорема Бернулли позволяет приближенно определить вероятности событий в опытах, не сводящихся к схеме случаев, по частотам этих событий при достаточном числе опытов.

Теорема Пуассона даёт возможность приближённо находить вероятность события A в серии опытов, одинаковость условий которых трудно гарантировать.

 

Теорема Слуцкого. Важное значение в инженерной практике имеет теорема Слуцкого, кото­рая в определённом смысле является следствием закона больших чисел и его различных форм.

Если случайные величины  при возрастании n сходятся по вероятности к соответствующим неслучайным величинам x,y,…,z, т.е.

,

то любая рациональная функция  сходится по вероятности к неслучайной величине R(x,y,…,z) (если R(x,y,…,z) не обращается в бесконечность).

      В частности, любая степень   при k>0 сходится по вероятности  к :

.

Одно из инженерных приложений этой теоремы следующее.

Входные воздействия на технические устройства (ТУ) представляют собой случайные величины , сходящиеся по вероятности при увеличении n к неслучайным. Выходная величина ТУ определяется по формуле  , где  R – рациональная функция. 

В этом случае при достаточно большом n в качестве выходных величин ТУ можно приближенно рассматривать неслучайную величину R(x,y,…,z).

Заметим, что никаких ограничений на зависимость (или независимость) СВ при этом не накладываются.

 

8.4. Примеры использования закона больших чисел при решении задач

 

Пример 1. (Применение теоремы Бернулли). Оценить вероятность того, что при 10000 бросаниях монеты отклонение частоты выпадения герба от его вероятности равной 1/2 не превзойдёт 0,01, т.е. найти: .

Решение

По теореме Бернулли:

.

При числе бросаний n=20000 искомая вероятность Р =0.875, т.е. .

 

Пример 2. (Правило среднего арифметического). Производится 10 замеров физической величины Х. Все измерения  лишены систематической ошибки. Разброс измерений . Считая, что Х - случайная величина, распределён­ная по нормальному закону распределения, оценить вероятность того, что отклоне­ния среднего арифметического всех измерений от математического ожидания величины Х не пре­взойдёт 0,15.

Решение

По правилу трех сигм:

,

Следовательно, .

,      n=10,     ε=0,15.

.

(См. доказательство первой теоремы Чебышева – это неравенство Чебышева для противоположного события ( )).

,

среднее арифметическое 10 измерений с вероятностью не менее 0,82 имеет в  раза меньшее отклонение от , чем исходные измерения, следовательно, имеет раз­брос относительно математического ожидания в 4 раза меньше, чем исходные измерения (выборки случайной величины).