Двойной интеграл обозначается

       (1)

 Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, предел  , если он существует, не зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk .

2. Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f(x,y) непрерывна в D  за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D.

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.

3. Геометрический смысл двойного интеграла. Если  f(x,y) ≥0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему “цилиндрического” тела, изображенного на рис.1:

  V =                   (2)

            Пояснение. Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D, сверху  частью поверхности z=f(x,y), с боков  вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.

4. Некоторые свойства двойного интеграла.

1)      Линейность. Если С – числовая константа, то

,

.

2)      Аддитивность. Если область D  “разбита” на области D1 и D2, то

.

3) Площадь ограниченной области D равна

                                                         (3)

5. Вычисление двойного интеграла. Пусть область

Рисунок 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = {(x, y): a ≤ x ≤ b,  φ1(x) ≤ y≤ φ2(x)} .       (4)

Область D заключена в полосе между прямыми x = a,  y = b, снизу и сверху ограничена соответственно кривыми  y = φ1(x)  и  y = φ2(x)  (рис. 2а).

Двойной интеграл (1) по области D  (4) вычисляется переходом к повторному интегралу:

          (5)

Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутренний интеграл

 

по переменной y, при этом x считается постоянной. В результате получится функция от переменной x, а затем вычисляется “внешний” интеграл от этой функции по переменной x.

            Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (5) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.

            Пусть теперь область D имеет вид (рис. 2б)

                             D = { (x, y) : c ≤  y ≤ d,  ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) } .          (6)

Тогда

           (7)

            Предположим, что область D можно представить в виде (4) и (6) одновременно. Тогда имеет место равенство

           (8)

Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (8) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.

Рисунок 5

 

            Примеры.

            1) Изменить порядок интегрирования в интеграле

                            

            Решение. По виду повторного интеграла находим область  

             D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y≤ 2} .

 Изобразим область D (рис. 3). По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0,  y=2 и  между линиями x = 0, x = y  2. Это значит, что

D = {(x, y): 0 ≤  y ≤ 2,   0 ≤ x≤ y/2} .

Тогда по формуле (8) получаем

2)Вычислить интеграл

  где D  область из примера 1.

            Решение. Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:

Вычислим внутренний интеграл по переменной y, считая x константой:

Теперь вычислим внешний интеграл по x: