Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной    второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции   :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что   есть произвольное и не зависящее от   , которое при дифференцировании по    следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция    имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:  .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции   выглядит следующим образом:

где  , а    произвольные приращения независимых переменных  . Приращения    рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При    ,  -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение   зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная   как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например,  .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и    :

если    — независимая переменная, то  

если     и  

1. 

2. при этом,     и  

С учётом зависимости  , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

С помощью дифференциалов, функция    при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

• для функции с одной переменной:

  ,   ;

• для функции с несколькими переменными:

  ,  

Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции    явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка    является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции    является неопределённым, то в точке    нет экстремума.

9) Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. ТочкаM₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM₀ точки M₀, что для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального максимума. А само значение z(M₀) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M₀) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M₀ - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C₀ находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C₀, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C₀.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D. Точка M₀(x₀;y₀ D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_x и z'_y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C₀ на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M₀ выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀) D. Причем M₀ - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Пример 1.13.

Исследовать на экстремум: