27. Подпоследовательности сходящихся последовательностей.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: х_N - ограничена => n: ах_Nb. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти х_N (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а₁,b₁] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а₁,b₁] промежуток [а₂,b₂] также содержащий бесконечное число членов посл-ти х_N. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [а_K,b_K]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти х_N. Длина к-того промежутка равна b_K-а_K = (b-a)/2^K, кроме того она стремится к 0 при к и а_Kа_K+1 & b_Kb_K+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках ! с: n а_Ncb_N.

Теперь построим подпоследовательность:

х_N1 [а₁,b₁]

х_N2 [а₂,b₂] n₂>n₁

. . .

х_NK[а_K,b_K] n_K>n_K-1

ах_Nkb. (Lim a_K=Limb_K=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim х_Nk=c - ч.т.д.

29. Существование верхнего и нижнего пределов ограниченной последовательности.

У всякой ограниченной последовательности существует предельные точки

{x₁, x₂, x_n} ограниченная последовательность m<=x_n<=M

U={y: правее y находится конечное число членов последовательности}

M є U, m-1U => существует точная нижняя грань а=inf U

30. Верхний и нижний пределы сходящейся последовательности.

x_N - ограниченная последовательность =>n а_Nх_Nb_N

х_NKх, так как х_NK-подпоследовательность => n ах_Nb =>ахb

х - частичный предел последовательности х_N

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аМb) => SupM &  InfM

Верхним пределом посл-ти x_N называют SupMSup{x_N}: пишут Lim x_N

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfMnf{x_N}: пишут lim x_N

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если х_N ограничена сверху (снизу), то  подпосл-ть х_NK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу х_N.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел х_N

 х’М: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’М =>  подпоследовательность х_NSх’ => Е>0 (в частности Е=1/к)  s₀: s>s₀ =>

х’-1/к<х_NS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<х_NS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<х_NS<х+1/к

Берем к=1: х-2<х_NS<х+1, т.е  s₀: s>s₀ это неравенство выполняется берем член посл-ти х_NS с номером больше s₀ и нумеруем его х_N1

k=1: х-2/1<х_N1<х+1/1

k=2: х-2/2<х_N2<х+1/2 n₁<n₂

...

k=k: х-2/к<х_NK<х+1/к n_K-1<n_K

При к х_NKх

32. Свойства фундаментальных последовательностей.

Последовательность {а_N} - называется фундаментальной, если Е>0  n₀: n>n₀ и любого рN выполнено неравенство |а_N+р-а_N|<Е. Геометрически это означает что Е>0  n₀, такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n₀ номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim x_N=x, тогда Е>0  n₀: n>n₀ |х_N-х|<Е/2. n>n₀, n’>n₀ |х_N-х_N’|=|х_N-х+х-х_N’|<|х_N-х|+|х-х_N’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть х_N - фундаментальная

1) Докажем что х_N ограничена: Е₁=1998  n₀: |х_N-х_N’|<Е, n>n₀, n’>n₀

n>n₀ |х_N-х_N0|<Е₁ х _N0-1998<х_N<х _N0+1998 => х_N - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

 подпосл-ть х_NKх. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |х_NK-х|<Е/2 и одновременно n_к>n₀. Следовательно (из фунд-ти) |х_N-х_NK|<Е/2 =>

|х_NK-х|<Е/2 => х-Е/2<х_NK<х+Е/2 => |х_N-х_NK|<Е/2 => х_NK-Е/2<х_N<х_NK+Е/2 => х-Е<х_N<х+Е => |х_N-х|<Е