22. Единственность предела последовательности

Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел

x_n->a, x_n->b

{x_n-a},{x_n-b} бмп

{( x_n-a)-( x_n-b)}={b-a} бмп b-a=0

Vε>0 ЗN n>N |x_n-a|<ε

23. Предельный переход в неравенствах.

1 {x_n} сходится x_n>=b

lim x_n>=b

Пусть lim x_n=a<b

ε=b-a

|x_n-a|<ε=b-a

a-b<x_n-a<b-a

x_n<b

x_n<b? => lim x_n>b? не справедливо lim=0

2 x_n, y_n сходятся

x_n<=y_n

limx_n<=limy_n

y_n-x_n>=0

lim(y_n-x_n)= limy_n-limx_n>=0

limy_n>=limx_n

3 {x_n},{y_n} сходятся и имеют общий lim

x_n<=z_n<=y_n тогда z_n сходится limz_n=limx_n=limy_n

limx_n=limy_n=a

x_n-a<=zn-a<=y_n-a z_n-a бмп lim z_n=0

28. Существование предельной точки у ограниченной последовательности.

x₁, x₂, x_n последовательность

Точка а называется предельной точкой последовательности, если в любой окрестности точки а расположено бесконечное множество членов последовательности.

24. Сходимость монотонных последовательностей.

Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если n₁>n₂ (n₁<n₂): x_N1x_N2 (x_N1x_N2).

Замечание: Если x_N1 строго больше (меньше) x_N2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть х_N ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={x_N: nN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем:  SupX=x, Е>0 x_E: (х-Е)<х_E =>  n₀ x_No>(х-E). Из монотон ности имеем: n>n₀ x_Nx_No>(x-E), получили x_Nx=SupX, значит n>n₀ x_N(x-E,х]<(x-E,x+E)

25. Число е.

y_N=; z_N=y_N +

1) y_N монотонно растет

2) y_N<z_N

3) z_N-y_N0

4) z_N монотонно убывает

Доказателство:

z_N-z_N+1 = y_N +- y_N+1 -=+-=

2=y₁<y_N<z_N<z₁=3

e = Lim y_N = Lim z_N - по лемме о вложенных промежутках имеем: y_N<e<z_N = y_N + 1/(n*n!)

Если через _ обозначить отношение разности e - y_N к числу 1/(n*n!), то можно записать e - y_N =_/(n*n!), заменяя y_N его развернутым выражением получаем e = y_N + _/(n*n!), (0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mZ, nN

m/n = e = y_N + _/(n*n!)

m*(n-1)!= y_N*n! + _/n, где (m*(n-1)! & y_N*n!)Z, (_/n)Z => противоречие

31. Свойства верхнего и нижнего пределов ограниченной последовательности.

x₁, x₂, x_n ограниченная последовательность

вне (a,b) лежит конечное число послед

1 (x,)⊂(a,b)

x>=a <=b(т.к. <=b+ε)

2 ε>0 (x-ε,+ε) содержит все члены последовательности начиная с некоторого

26. Предельные точки последовательностей и подпоследовательностей.

Определение: Пусть а_N некоторая числовая посл-ть и k_N-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций na_N и nk_N получа ем посл-ть a_Kn-которая наз. подпосл-тью посл-ти a_N=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim а_N=а, то и Lim а_Kn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n₀: n>n₀ |а_N-а|<Е, ввиду того что k_Nсуществует и такое n’, что при всех n>n’ k_N>n₀ тогда при тех же значениях n будет верно |а_Kn-а|<Е