15. Плотность множества рациональных чисел.

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х  х’к у”к  у

х  х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)єQ

16. Принцип вложенных отрезков.

Пусть а,bR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хR: ахb (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хR: ах<b (а<хb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хR: ах & хb - числовой луч

5) Mножество хR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть a_N монотонно возрастает, b_N монотонно убывает, n a_Nb_N и (b_N-a_N)-бм, тогда ! с: n c[a_N,b_N] (с[a_N,b_N])

Доказательство:

a_Nb_Nb₁ a_N монтонно возрастает & a_Nb₁ => Lim a_N=a

a₁a_Nb_N b_N монтонно убывает & a₁b_N =>  Lim b_N=b

a_Na bb_N a_Nb_N => ab

Lim (b_N-a_N)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда a_Ncb_N

Пусть с не единственное: a_Nc’b_N, с’с

a_Ncb_N=>-b_N-c-a_N => a_N-b_Nc’-cb_N-a_N => (По теореме о предельном переходе) => Lim(a_N-b_N)Lim(c’-c)Lim(b_N-a_N) => (a-b)Lim(c`-c)b-a) =>

0lim(c`-c)0 => 0(c`-c)0 => c’=c => c - единственное.

17. Сумма и разность бесконечно малых и больших последовательностей.

Сумма бмп, есть бмп.

{х_n},{y_n} бмп

{x_n+y_n} бмп

Пусть ε>0 ЗN₁ n>N₁ |x_n|<ε/2

З N₂ n>N₂ |y_n|<ε/2

N=max{N₁,N₂} n>N

|x_n|<ε/2 |y_n|<ε/2

|x_n+y_n|<=|x_n|+|y_n|<ε/2+ε/2=ε

Сумма ббп, есть ббп.

{х_n},{y_n} ббп

{x_n+y_n} ббп

Пусть М>0 ЗN₁ n>N₁ |x_n|<М/2

З N₂ n>N₂ |y_n|<М/2

N=max{N₁,N₂} n>N

|x_n|<М/2 |y_n|<М/2

|x_n+y_n|<=|x_n|+|y_n|<М/2+М/2=М

Разность аналогично.

18. Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей.

{х_n}бмп

{y_n} огран

З М>0 |y_n|<M

ε>0 З N _n>N |x_n|<ε/M

|x_ny_n|=|x_n||y_n|<ε/M*M=ε

19. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Если {x_n} ббп то начиная с некоторого n x_n≠0 и {1/x_n} бмп

ЗN n>N |x_n|>1 {1/x_n}

Ε>0 ЗN n>N |x_n|>1/ε <=>|1/x_n|<ε

Если {x_n} бмп x_n≠0 для достаточно больших n, то послед {1/x_n} ббп

20. Неравенства и бесконечно малые последовательности. Постоянные бесконечно малые последовательности.

Если {x_n} бмп {y_n}: |y_n|<=|x_n| => {y_n}бмп

Ε>0 ЗN n>N |x_n|<ε

|y_n|<=|x_n|<ε

{1/n^λ} λ>0

ε>0 ЗN n>N

N=(1/ε)^1/λ => n>(1/ε)^1/λ <=> n^λ>1/ε <=> 1/n^λ<ε

21. Операции над сходящимися последовательностями

{x_n} называется сходящейся, если З а для которой {x_n-a} бмп

Если такая последовательность сходится, то а называется пределом x_n->a, lim x_n=a

Сумма сходящихся последовательностей сходится причем приделы суммируются

x_n->a, y_n->b

x_n+y_n->a+b

(x_n+y_n)-(a+b)=( x_n-a)+( y_n-b) бмп

Разность сходящихся последовательностей сходится, пределы вычитаются.

Произведение сходящихся последовательностей сходятся причем = произведение пределов

x_n->a, y_n->b

x_n*y_n->a*b

x_n*y_n-a*b=x_n(y_n-b)+b(x_n-a) бмп

Частное сходящихся последовательностей сходятся причем = частному пределов