35. Самосопряженные операторы в евклидовом пр-ве, их св-ва.

Определение. Оператор А евклид. пр-ва ε_n наз-ся самосопряженным, если ∀x, y∈ε_n: (Ax, y)=(x, Ay)

Св-ва самосопряженного оператора.

x, y∈ε_n, А∈L(ε_n).

[e]= — ОНБ

[e]: A↔A_е – матр. А в [e]ю

1° Операт. А явл. самосопр. , т. и т.т., когда ∀ ij – 1, …, n,

1. Необходимость: очевидна

2. Достаточность:

Пусть ∀x, y∈ε_n, ,

;

2° Оператор А явл. Самосопряж. т. т т.т., когда матр. Ае в произв. ОНБ явл. симметричной.

Док-во:

,

, т.е.. – симметричн. (т.е.. ).

3° Теорема

Все корни характерист-го многочл. симметричной матрицы действ. числа (без док-ва).

4° Всякий самосопряж. оператор имеет собств. вектор.

Док-во:

Пусть А – самосопряж. , [e] – ОНБ; A↔ A_е симметричная. Все собств. знач. А – действ. корни мн-на по св-ву 3° мн-н имеет действ. корень, это собств. знач. А, → ∃ собств. вектор.

5° Собств. вектора относящ. к различным собств. знач. самосопряж. оператора ортогональны.

Док-во:

∀x, y: (Ax, y)=(x, Ay)

λ₁, λ₂∈ℝ, λ₁≠λ₂, ∃е₁, е₂ — ненулевые.

; .

, т.к.. λ₁≠λ₂, то , то есть .

36. Спектральная теорема самосопряженного оператора

Теорема: линейный оператор А евклидова пространства E_n является самосопряженный тогда и только тогда, когда в E_n ∃ ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов вектора A.

Док-во:

1. Пусть в [e] – ортонормированный базис пространства E_n A ⇔A_e

Когда = A_e=>A самосопряженный

2. Пусть А- самосопряженный оператор E_n. Т.к. А самосопряженный, то ∃ — собственное значение А

и соответственно собственный вектора e₁≠0, Ae₁= λ₁e_1.Считаешь, что lle_xll=1, т.е. при n=1 теорема верна

Док-во:

1. Основ. n=1

2. Допустим, что теорема справедлива ∀E – евклидова пространства, dim E=n-1

3. Пусть dim E= n, т.е..Е=E_n

А самосопряженный оператор E_n

В E_n ∃e₁ – собственный вектор А

Аe₁= λ₁e₁; lle₁ll=1

В E_n∃ базис e₁, f₂…f_n – базис E_{n —} ОНБ

37. Приведение квадратичной формы к главным осям в евклидовом пространстве.

Определение: говорят, что квадратичная форма q(x) приводится к главным осям в E_n, если в E_n ∃ ОНБ, в котором q(x) имеет канонический вид, то есть q(x)= λ₁₍ )²+…+ λ_n( )², где x=

Теорема: всякая квадратичная форма приводится к главным осям.

Доказательство: пусть q(x)- квадратичная форма на E_n. Зафиксируем в E_n некоторый ОНБ [e]: q(x)⇿ . То есть - симметрично.

A_e – собственный линейный оператор A.

[e]: q(x) ⇿ ⇿ A (так как = , то A – самосопряженный)

Согласно спектральной теории самосопряженного оператора в E_n ∃ ОНБ [ẽ]=(ẽ₁,…,ẽ_n) из собственных векторов оператора A, то есть A⇿ = Из леммы следует, что [ẽ]: q(x)⇿ = = x= , то q(x)= λ₁₍ )²+…+ λ_n( )² .