18. Определение линейного оператора. Простейшие свойства. Примеры.
Действия с линейными операторами и их свойствами.
Определение 1: Оператором (преобразованием) линейного пространства V называется закон, по которому каждому элементу пространства V ставится в соответствие единственный элемент того же самого пространства.
Пусть
А – оператор пространства
.
обозначим
A
x
– результат действия A
на x.
Если
,
где
,
то y
называется образом элемента
,
а x
– прообразом элемента
.
Определение
2:
Оператор А линейного пространства V
называется линейным оператором, если
и ∀λ
выполняются условия:
1) А(x+y)=Ax+Ay
2) A(λx)= λ(Ax)
Простейшие свойства:
Пусть
,
а λ - число. А – линейный оператор.
1)
Линейный оператор отображает нулевой
элемент на нулевой элемент, т.е.
Доказательство::
2)
Доказательство:
3)
Оператор А линейного пространства V
является линейным оператором тогда и
только тогда, когда
и
выполняется:
4)
Если
линейно зависимы, а А – линейный оператор
V,
то образы
- так же линейно зависимы.
Доказательство:
т.к.
-
линейно зависимы, то
,
что.
- линейно зависимы.
Определение 3: 1) Пусть А и В – операторы линейного пространства V.
Операторы
А и В называются равными (А=В), если
.
2) Оператор J называется тождественным (или единичным),
если
3)
Оператор О называется нулевым, если
J и O – линейные операторы V.
Примеры:
1)
- линейное пространство геометрических
векторов на плоскости.
а)
- фиксированный.
,
=>
оператор не линейный
б) Все векторы : Приложим к фиксированной точке О. φ – фиксированный угол.
-
вектор, полученный поворотом
вокруг О на угол φ.
;
;
=>
- линейный оператор.
2)
- линейное пространство геометрических
векторов в пространстве, приложенных
к началу координат.
А – оператор проектирования вектора на плоскость ХОУ
- проекция вектора на ХОУ
А – линейный оператор.
3)
- линейное пространство множителей
степени
=>
- оператор дифференцирования.
Действия над линейными операторами:
V – линейное пространство.
L(V) – множество линейных операторов линейного пространства V
Определение
4:
Суммой операторов А+В называется
оператор А+В, который действует по
правилу:
:.
Произведением
оператора А на число λ называется
оператор λА, действующий по правилу:
Свойства произведения операторов:
1) λ(АВ)=( λА)В=А(λВ)
2) (А+В)С=АС+ВС
3) А(В+С)=АВ+АС
4) (АВ)С=А(ВС)
5) AJ=JA=A
6) AO=OA=O
19. Матрица оператора в базисе. Примеры.
Нахождение координат образа по координатам прообраза.
Лемма1:
Линейный оператор А однозначно задается
образами
базисных элементов
.
Доказательство:
Т.к. разложение х однозначно, то Ах определяется однозначно.
Определение
6:
Матрицей
линейного
оператора А в базисе
называется квадратная матрица
порядка
n
в j-м
столбце которой стоят координаты
вектора
в базисе
.
Примеры:
1)
j=1…n
2)
Нахождение координат образа по координатам прообраза
Замечание:
20.
Лемма2.
Для любых n
векторов
Док-во:
Построим
оператор B
следующим образом: ∀
Докажем,
что B
– линейный оператор:
∀x,
z
Теорема о взаимнооднозначном соответствии в фиксированном базисе n-мерного линейного пространства между линейными операторами и квадратными матрицами порядка n.
Теорема:
Пусть
- некоторый базис пространства
и
В – квадратная матрица порядка n.
Тогда
линейный
оператор такой, что матрица В является
матрицей оператора В в базисе [e]
(т.е.
).
Док-во:
Построим систему векторов
.
j=(1…n)
Согласно
лемме 2,
такой, что
[e]:
.
Найдем
:
Т.е.
Ве=В
Вывод: В фиксированном базисе [e] линейного пространства существует
взаимнооднозначное
соответствие между
и
матрицей
матрица
A
в [e]
Лемма
3:
Если
-
базис,
-
матрица размером nxk,
то
без
доказательства)
Замечание:
Если
,
то В = С