21. Матрица суммы операторов, произведения оператора на число и произведения операторов.

Пусть V_n – n-мерное пространство, операторы A, B ϵ L(V_n); λ – число; [e]=(e₁, …, e_n) – базис V_n; A_e, B_e – матрицы операторов A, B соответственно в [e].

Теорема: Если А и В – линейные операторы ϵ L(V_n) и λ – число, то:

1. (A+B)_e = A_e+B_e, где (A+B)_e – матрица оператора (А+В) в [e].

2. (λ ∙ A)_e = λ A_e, где (λ A)_e – матрица оператора λ∙A в [e].

3. (A ∙ B)_e = A_e∙ B_e, где (AB)_e – матрица операторов АВ в [e].

Доказательство: Пусть D ϵ L(V_n) – линейный оператор; D_e – матрица D в [e].

Тогда и только тогда, когда D(e₁, …, e_n) = (e₁, …, e_n)D_e;

1. (A+B) (e₁, …, e_n) = ((A+B)e₁, …, (A+B)e_n) = (Ae₁ + Be₁, …, Ae_n + Be_n) = (Ae₁, …, Ae_n) + (Be₁, …, Be_n) = (e₁, …,e_n)A_{e +} (e₁,…,e_n)B_e = (e₁, …, e_n)(A_e + B_e) ⇒ A_e + B_e = (A+B)_e

2. (λ A)_e = λ A_e (λ A) (e₁, …, e_n) = ((λ A)e₁, …, (λ A)e_n) = (λ (Ae₁), …, λ (Ae_n)) = λ (Ae₁, …, Ae_n) = λ (e₁, …, e_n) A_e = λ A_e

3. (AB) (e₁, …, e_n) = ((AB)e₁, …, (AB)e_n) = (A(Be₁), …, A(Be_n)) = A(Be₁, …, Be_n) = A((e₁, …, e_n)B_e) (e₁, …, e_n) (A_eB_e) ⇒ A_eB_e =(AB)_e

Лемма 3: Если A ϵ L(V_n), [e] = (e₁, …, e_n) – базис, – матрица размеров n × k, то A((e₁, …, e_n)C) = (Ae₁, …, Ae_n)C = (e₁, …, e_n)(A_eC)

22. Обратный оператор для данного линейного оператора и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов.

Определение: множество всех векторов x ϵ V таких, что Ax = Θ, называется ядром оператора А. ker A = {x ϵ V : Ax = Θ }

Определение: множество всех элементов таких, что , называется образом оператора А. m A =

Определение: Линейный оператор пространства V называется обратимым, если существует такой оператор B пространства V, что AB = BA = , где – тождественный оператор.

Оператор В называется обратным к оператору А и обозначается В = А^-1.

Свойства обратного оператора:

A ϵ L(V_n):

1. Если А^-1 – обратный оператор существует, то он линейный

Доказательство: A А^-1 = А^-1A =

1. ∀ x, y ϵ V

А^-1(x+y) = А^-1( x+ y ) = А^-1((A А^-1)x + (A А^-1)y) = А^-1(A(А^-1x) + A(А^-1y)) = А^-1(A(А^-1x + А^-1y)) = (А^-1x + А^-1y) = А^-1x + А^-1y

2. ∀ λ – число

А^-1(λ x) = А^-1(λ ∙ x) = А^-1(λ (A ∙ А^-1)x) = А^-1(A(λ А^-1x)) = (λ А^-1x) = λ А^-1x

Следовательно А^-1 – линейный оператор пространства V.

2. Единственность обратного оператора

Доказательство: Пусть AB = BA =

B = B I = B(A А^-1) = (BA) А^-1 = А^-1 = А^-1

3. Если оператор А обратим, то ядро ker A = {Θ}

Доказательство: Пусть x ϵ ker A, т.е. Ax = Θ

x = x = (А^-1A)x = А^-1(Ax) = А^-1(Θ)=Θ

4. Если оператор А обратим, то m A = V

Доказательство: ∀ y ϵ V: y = y = (A А^-1)y = A( y) ϵ m A

Примеры обратимых и необратимых операторов:

1. V₂ – пространство геометрических векторов на плоскости

ϕ – фиксированный угол

A=A_ϕ – оператор поворота на угол ϕ

Существует А^-1=A_-ϕ – оператор поворота на угол – ϕ.

A_ϕ ∙ A_-ϕ = A_-ϕ ∙ A_ϕ = I ⇒ A – обратим.

2. V₃ – пространство геометрических векторов в пространстве.

А – проектированный на плоскость XOI

ker A = ≠ {Θ} ⇒ A – необратим

3. ℙ_n[x] – многочлен степени ≤ n

A= - оператор дифференцирования

A(p(x)) = ; A(c) = =0 (∀ c ϵ ℝ)

ker A = {ℝ} ≠ {Θ} ⇒ A – необратим.

Теорема (Критерий обратимости линейного оператора):

Пусть A ϵ L(V_n). Оператор А обратим тогда и только тогда, когда он невырожденный, т.е. det A ≠ 0

Доказательство: V_n[e] = (e₁, e₂, …, e_n) – фиксированный базис,

[e]: A↔A_e – матрица оператора А в [e] A – обратим ⇔ det A = det A_e ≠ 0

1. Пусть А – обратим, т.е. А^-1 такой, что A ∙ А^-1 = А^-1 ∙ A =

Обозначим (А^-1)_e – матрица А^-1 в базисе [e], E_n – матрица .

Известно, что A А^-1 = А^-1 A = ⇔ A_e(А^-1)_e = (А^-1)_e ∙ A_e = E_n матрица А_e – обратима, т.е. det A_e ≠ 0, значит det A = det A_e ≠ 0 и А – невырожден.

Замечание: Матрица (А^-1)_e­ и det А^-1 =

Матрица оператора А^-1, обратного оператору А, есть обратная матрица .

2. Пусть А – невырожденный оператор, т.е. det A = det A_e ≠ 0.

Следовательно, у матрицы A_e . В [e]: A ↔ A_e; A ϵ L(V_n); A_e ϵ L_n×n

В [e] матрице соответствует B ϵ L(V_n). Т.к. A_e = A ⇔ AB = BA = ;

Значит, В – обратная к А. В силу единственности, B = А^-1.

B ↔ B_e = Итак, [e]: A ↔ A_e; и det A_e ≠ 0, то ∃ А^-1 ↔ .