32. Определение евклидова пр-ва. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского и нер-во треугольника. Угол между двумя векторами.

Определение. Действит. ли. пр-во V наз-ся Евклидовым пр-ом, если в нём любыми эл-ам x, y∈V поставл. в соответствие действит. число (x, y), назыв-ое скалярным произведением элементов x и y. При этом выполн. след. условия:

∀x, y, z∈V и ∀λ∈ℝ; (аксиомы).

1. (x, y)=(y, x);

2. (x, y, z)=(x, z)+(y, z);

3. (λx, y)= λ(x, y);

4. ∀x∈V, x≠0;(x, x)=0.

Определение. Пусть ε – евклидово пр-во, нормой вект. x∈ε наз-ся число, равное .

Св-ва нормы:

1°∀x∈ε

Док-во:

2° ∀x∈ε, ∀λ∈ ℝ; .

3° Нер-во Коши-Буняковского

∀x, y ∈ε: или

Док-во:

Пусть t – произв. линейн. число:

Рассмотрим квадратн. трехчлен:

, при любом t.

Значит , т.е.. . Откуда . Ч.т.д.

4° Нер-во треугольника:

∀x, y∈ε:

Док-во:

Определение. Пусть x и y (x≠0, y≠0)∈ε. Углом между величинами x и y наз-ся число, равное

Определение корректно, если

→ Нер-во Коши-Буняковского.

33. Ортонормированные базисы (онб) евклидова пр-ва. Теорема о существовании онб, процесс ортогонализации Шмидта.

Определение. Векторы x и y ∈ε наз-ся ортогональными ( ), если (x, y)=0. Сист. векторов пр-ва ε наз-ся ортогональн. , если все вектора этой сист. попарно ортогональны.

Теорема

Всякая ортогональная сист. ненулевых векторов лин. независима.

Док-во

x₁, …, x_n∈ε, ∀_ij

∀_ij=1, …, m; Пусть α₁x₁+…+α_mx_m=0

; ∀k=1, …, m: x_k(

Т.к..

Определение. Сист. векторов назыв. ортогонализированной, если ∀_ij=1, …, m:

Определение. Упорядоченной сист. векторов наз-ся ОНБ пр-ва ε, если выполняется:

1. Система – ортонормирована.

2. – базис пр-ва ε.

Следствие

В n – мерном евклид. пр-ва любая упорядоченная ортонормированная система векторов образует ОНБ.

Теорема

Пусть f₁, …, f_m лин. незав. сист. векторов в ε L{f₁, …, f_m} – лин. оболочка векторов, тогда в L{f₁, …, f_m} существ. ОНБ.

Док-во

L{f₁, …, f_m} – лин. подпр-во ε→ L{f₁, …, f_m} евклид. пр-во размерности m, где f₁, …, f_m обратн. базис.

Док-во индукции по m:

1. m=1, f₁≠0, L{f₁}

e₁ – ОНБ в L{f₁}

2. Допустим, что в L{f₁, …, f_m} ∃ ОНБ.

3. Рассмот. L{f₁, …, f_m}. Заметим, что L{f₁, …, f_m}∈ L{f₁, …, f_m-1, f_m}. Пусть – ОНБ в лин. обл. L{f₁, …, f_m-1}. Строим ОНБ в лин. оболочке L{f₁, …, f_m-1, f_m}.

Рассмотрим вектора:

;

∀k=1, …, m-1;

, по ∀i≠k.

; g_m≠0

Если g_m=0, то ∈ L{f₁, …, f_m-1}, чего быть не может.

; Ортонорм. сист. ∈ L{f₁, …, f_m} т.к.. dim L{f₁, …, f_m}=m, то — ОНБ — процесс ортогонализации по Шмидту.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

— лин. независ. вектора → и

, где ;

, где ; .

34. Ортогональные матр. , их св-ва. Переход от одного онб к другому в евклидовом пр-ве.

Определение. Действ. квадр. матр. Q порядка n наз-ся ортогональной, если: , где —матр. транспорн. к Q.

Св-ва ортогональных матриц

1° det Q = ±1

Док-во: :

2° ; (Q – обратная)

3° Матрица А явл. ортогональной когда скалярн. квадрат кваждого столбца равен 1, а скалярн. произведение любых двух столбцов равно 0.

; ;

;

4° Св-во аналог. 3°, справедл. для строк.

5° Если матр. Q ортогон. , то Q^-1 тоже ортогональна.

6° Если Q, R- ортогональны, то QR – ортого.

Док-во:

Переход от одного базиса к другому

— ОНБ

— ОНБ

Пусть Q – матр. перехода от базиса [e] к , т.е..:

; ;

Теорема

Ортогональные матр. явл. матрицами перехода от одного ОНБ к другому.

Док-во:

1. — ОНБ, то Q: — ортогональна.

2. Q → ортогон. , [e] – ОНБ.

Координаты расположены в k-ом столбце Q (из св-в ортогон. матр.).

Пусть ;

=Q .

; т.к.. , то .