16. Определение линейной оболочки системы векторов.
Теорема о размерности линейной оболочки.
V – линейное пространство (|R или |C).
Определение:
Пусть
-
элементы линейного пространства V,
а
,
…,
- числа. Рассмотрим линейную комбинацию
Множество
всех линейных комбинаций называется
линейной оболочкой системы элементов
Обозначение:
.
Теорема: Пусть - элементы линейного пространства V. Линейная
оболочка
является
наименьшим линейным подпространством
V,
содержащие элементы
Доказательство:
1)
линейное
подпространство V.
Возьмем любые
.
Они имеют следующий вид:
для
них выполняется:
для
∀
выполняется:
=>
-
линейное подпространство V.
Пусть
L
– произвольное линейное подмножество
V
такое, что
∀
,
…,
:
(подпространству) =>
наименьшее линейное подпространство,
содержащее.
Теорема (о размерности линейной оболочки): Пусть - элементы линейного пространства V. Размерность ) линейной оболочки элементов равна максимальному числу линейно независимых элементов в системе .
Доказательство:
Пусть максимальное число линейно
независимых элементов в этой системе
равно k.
Пусть
- линейно независимы,
тогда
элементы
через
линейно выражаются, т.е.
(где j
= k+1…n).
Покажем, что - базис ;
а) - линейно независимы
б)
,
т.е.
элемент x
линейно выражается через
=>
– базис линейной оболочки, dim
L
=k.
17. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.
Теорема о разложении линейного пространства в прямую сумму подпространств.
V
– линейное пространство
и
- линейное подпространство пространства
V.
Определение
9:
Пересечением
линейных подпространств
и
называется
множество всех элементов, которые
принадлежат этим подпространствам
одновременно:
Суммой
+
линейных подпространств
и
называется множество всех элементов
пространства V
вида
,
где
.
+
,
Теорема 10: Сумма и пересечение линейных подпространств являются сами подпространствами.
Доказательство: 1) Рассмотрим сумму
+ ,
+
λ
:
+
=>
+
- линейное подпространство.
2) Рассмотрим пересечение
;
-
линейное подпространство.
Определение:
Сумма
+
называется прямой суммой, если
.
Обозначение:
- прямая сумма подпространств
и
.
Теорема:
Каждый элемент
представляется в виде
,
где
единственным способом.
Доказательство:
Пусть
прямая сумма
,
и
,
,
=
=
{
}
,
т.е.
=
и
=
Теорема: Линейное (конечномерное) пространство V является прямой суммой подпространств и (т.е.V = ) тогда и только тогда, когда:
1) dim V=dim +dim и 2) (без доказательства)