§ 97. Распределение давления в газе

Давление в покоящемся газе будет возрастать книзу вследствие тяжести вышележащих верхних слоев. Очевидно, что давление одинаково в любой горизонтальной плоскости. Но при определении изменения давления по вертикали необходимо учесть изменение плотности (или удельного веса) в зависимости от давления.

Можно записать условие равновесия для цилиндра сечением 1 см² (рис. 276) и очень малой высоты dh в таком виде:

или

(97.1)

где dp — разность давлений на верхнем и нижнем основаниях цилиндра. Следовательно, изменение давления при изменении вы­соты на величину h равно

или

(97.2)

Если газ имеет постоянную температуру, то удельный вес  и давление р связаны по закону Бойля — Мариотта (95.1):

(97.3)

Тогда изменение давления с высотой можно вычислить следую­щим образом. В формулу (97.1) подставляем (97.3):

Интегрируем это выражение от нуля до h:

Преобразуя последнее выражение, получаем

(97.4)

Это так называемая барометрическая формула, показывающая, что давление падает с высотой по показательному закону.

Рис. 276.

342

Пользуясь законом (97.4), определим изменение давления воздуха в спокойной атмосфере, полагая, что температура воздуха остается на всех высотах одинаковой.

Ради наглядности проведем сначала на графике зависимости давления р от высоты h (рис. 277) пунктирную прямую по закону

(97.5)

где ₀ — удельный вес воздуха у поверхности Земли, на уровне моря, при h=0. Очевидно, эта пунктирная линия представляет изменение давления с высотой в том воображаемом случае, если

атмосфера состояла бы из «несжи­маемого» газа постоянного удельного веса ₀. Высоту h₀, при которой в этом случае давление будет равно нулю, называют высотой «однород­ной атмосферы». По (97.5) высота h₀ будет равна

(97.6)

При температуре 15° С и при нормаль­ном атмосферном давлении на уровне моря р₀=1,013•10⁵ Н/м² удельный вес воздуха равен ₀  12 Н/м³. Следовательно, высота однородной атмосферы равна

h₀8400 м=8,4 км.

Если представим себе, что выше воздух имел бы такую же плот­ность, как у поверхности Земли, то Земля была бы покрыта слоем воздуха примерно в 8,4 км и этот слой создавал бы внизу такое же давление, как и действительная атмосфера. Пользуясь выраже­нием для высоты однородной атмосферы (97.6), можно формулу (97.4) записать в таком виде:

(97.7)

Этот закон распределения давления по высоте при постоянной тем­пературе показан сплошной кривой на рис. 277.

Вблизи поверхности Земли изменение давления воздуха с высо­той будет происходить примерно так же, как и в однородной ат­мосфере; на рис. 277 пунктирная и сплошная линии совпадают на некотором участке вблизи h=0. Поэтому при приближенных рас­четах давления на небольшой (по сравнению с 8,4 км) высоте можно пользоваться формулой (97.5).

Рис. 277.

343

На основании формулы (97.5) можно оценить ошибку, которую делают при опытах с газом, полагая давление постоянным по всему занимаемому им объему, если этим газом был воздух. В самом деле, при опытах в лаборатории с объемом воздуха, наибольшая высота которого не более 10 м, мы совершаем ошибку менее

В действительности нельзя счи­тать, что температура воздуха остает­ся постоянной по высоте. При сравни­тельных технических расчетах прини­мают некоторое условное среднее зна­чение температуры на данной высоте, полученное на основании результа­тов большого количества измерений (рис. 278). Примерно до высоты в 11 км температура уменьшается линейно, а выше остается постоянной, равной примерно -55°С. Измерения последних лет, сделанные при помощи реактивных снарядов, показали, что с высоты около 25 км наблюдается повышение температуры, которое продолжается до 45 км, где температура примерно равна 0° С; начиная с 55 км, температура опять понижается и достигает почти -90° С на высотах 80—95 км. Затем опять наблюдается повышение температуры, которое достигает почти 1000° С на высоте около 230 км.