15) Опр. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и ее значение равно пределу функции в этой точке:
Если
обозначить
(приращение аргумента),
(приращение
функции), то равенство
можно записать в виде
,
т.е. если функция
непрерывна в точке
,
то бесконечно малому приращению
аргумента в этой точке соответствует
бесконечно малое приращение функции.
Свойства функции непрерывности в точке:
-
Если функции
и
непрерывны в точке
,
то их алгебраическая сумма, произведение
и частное являются функциями непрерывности
в точки
.
-
Если функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
,
то сложная функция
непрерывна в точке
.
16)
Если в точке
функция
не является непрерывной, то эта точка
называется точкой
разрыва
функции. Опр.
Точка
называется точкой устранимого
разрыва
функции
если функция имеет конечный предел не
равный значению функции:
Опр.
Точка
называется точкой
разрыва
первого рода функции
,
если в этой точке функция имеет конечные,
неравные друг другу пределы слева и
справа:
Величина,
называется скачком
функции
в точке разрыва первого рода
.
Опр. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке, хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или равен .
17)
Если функция
непрерывна в каждой точке интервала
,
то она называется непрерывной в интервале
.
Если
кроме этого функция непрерывна в точке
справа, т.е.
,
а в точке слева, т.е.
,
то она называется непрерывной на отрезке
.
Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Из теоремы следует, что если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Теорема
Больцано-Коши:
если функция
непрерывна на отрезке
и на концах его имеет значения
противоположные по знаку, то
обращается в
по крайней мере, в одной точке интервала
.
Геометрический
смысл теоремы:
график непрерывной функции, соединяющий
точки в разных полуплоскостях относительно
оси
обязательно
пересечет ось,
по крайней мере, в одной точке.
Функция,
имеющая разрыв хотя бы в одной точке,
может перейти от отрицательного
значения к положительному
и, не обращаясь в
.