Способы задания функции:

Аналитический – функция задается формулой вида . Табличный – функция задается таблицей, содержащей значения элемента x и соответствующие ей элементов y.

Графический – соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика функции. Множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординаты – соответствующие им значения функции y.

5) Функция называется явно заданной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Пример: .

Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением , неразрешенным относительно зависимой переменной.

Ф ункцию называют параметрически заданной, если соответствие между аргументом и функцией задается через вспомогательную переменную, параметр t.

Рассмотрим функцию , между переменными x и y существует взаимно-однозначное соответствие. Тогда соответствие между переменными х и у можно задать в виде . Эта функция называется обратной, по отношению к исходной функции. Очевидно, что функция будет обратной, для функции . Поэтому, обе эти функции называются взаимно-обратными. Графики взаимно-обратной функции изображаются одной и той же прямой, так как связь между переменными одна и та же, различие только в формате записи.

Обозначим, неизвестную переменную обратной функции , через x, а зависимую переменную через y.

Рассмотрим функцию , область значений которой является множество Z. Если на множестве Z определенна функция , то функция называется сложной функцией от х или функцией от функции или композицией функции. Переменная называется промежуточной переменной (аргументом) сложной функции. Сложная функция может иметь несколько промежуточных элементов.

6) Основные или простейшие элементарные функции:

– постоянная функция.

– степенная функция.

– показательная функция.

– логарифмическая функция.

– тригонометрические функции.

– обратные тригонометрические функции.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций с помощью числа арифметических операций и композиций, называется элементарной функцией.

7) Основные характеристики числовых функций:

Опр. Функция определяемая на множестве Х, симметрично относительно 0, называется четной, если для всех справедливо равенство ; нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Опр. Функция называется периодической, если существует такое ненулевое число , что для всех x и из области определения функции справедливо равенство: .

Наименьшее число Т из всех числе r называется периодом функции . График периодической функции переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси абсцисс на r единиц влево или вправо.

Опр. Функция определенная на множестве Х, называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех справедливо неравенство , если же такого числа не существует, то функция называется неограниченной. График ограниченной функции лежит между горизонтальными прямыми .

Опр. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых , таких что справедливо неравенство . Возрастающие (убывающие), функции называются монотонными функциями.

8) Опр. Число а называется пределом функции при , если для любого положительного числа (каким бы малым оно не было) существует такое положительное число М, что для всех х удовлетворяющих условию выполняется неравенство .

Опр. Число а называется пределом функции при или в точке , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство: .

Если при стремлении , аргумент принимает лишь значения меньше (больше) , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева (справа ).

Если , то предел функции в точке не существует.

9) Свойства пределов функций:

- Предел алгебраической суммы конечного числа функций, равен алгебраической сумме пределов этих функций.

- Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

Отсюда, в частности, следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, а предел натуральной степени функции равен этой степени от ее пределов.

- Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен 0.

10) Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство .

Обр. утв. Если предел функции точки равен 0, то эта функция является бесконечно малой при .

Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство .