Тема 7. Совокупности случайных величин, случайные векторы. Совместная функция распределения. Независимость случайных величин. Критерии независимости.

Случайные величины называются независимыми, если для любых борелевских B1,…,Bn P(ξ1 Є B1,… ξn Є Bn) = P(ξ1 Є B1)…P(ξn Є Bn). Пусть задано некоторое вероятностное пространство на котором задано n случайных величин. ξ = (ξ1, ξ2,…ξn): Ω  R^n. Будем рассматривать только измеримые функции. B(n) –σ-алгебра борелевских мн-в в R^n. ξ^(-1)(B(n)) Є F. Для измеримости ξ необходимо и достаточно, чтобы все ξi были измеримыми. Совместной функцией распределения называется F(x1, …, xn) = P(ξ1 < x1,…ξn < xn). Совместная функция распределения однозначно определяет распределение ξ1,…,ξn. Случайный вектор ξ и его функция распределения дискретны, если этот вектор принимает не более чем счетное число значений. Случайный вектор и … называются абсолютно непрерывными, если Fξ = $<-inf, x1>$<-inf, x2>…$<-inf, xn>p(u1, …, un)du1..dun. p(u1,..,un) – совместная плотность распределения. Точкой роста называется точка x = (x1, …xn), если для любого eps >0  P(ξ1 Є [x1, x1+eps), …,ξn[xn, xn + eps)) >0. Случайный вектор и … называется сингулярным, если Fξ – непрерывная, а мн-во всех точек роста имеет 0 меру Лебега. Для независимых случайных величин, зная функцию распределения каждой, можно найти функцию совместного распределения (как произведение их ф-р). Пусть задан ξ = (ξ1, ξ2,…ξn), Fξ, и система {η1 = h1(ξ1, …ξn),…ηm = hm(ξ1, …ξn)}. Пусть все hi – борелевские R^n  R^m. Надо зная Fξ, h1, …, hm, найти Fη(x1, …, xn). hi – непрерывны. ηi – случайные величины. Раз hi непрерывны, то ηi принадлежат тому же классу, что и ξi. Тогда и η – тоже абсолютно непрерывен. В одномерном случае. Пусть pξ(u) – плотность ξ. Тогда P(a<=ξ<b) = $<a, b>pξ(u)du. Более того P(ξ Є B) = $<B>pξ(u)du. В многомерном абсолютная аналогия. Не хитро получается P(η < y) = P(η1 < y1…ηn <yn) = $...$<h1(u1,…,un)<y1,…,hm(u1,…un)<ym)>pξ(u1,…,un)du1…dun.

Тема 8. Виды сходимости последовательностей случайных величин.

Последовательность {ξn} сходится к случайной величине ξ по вероятности, если lim<ninf>ξn P= ξ, если для любого eps lim<ninf>P(|ξn – ξ| >eps) = 0. Последовательность {ξn} сходится к случайной величине ξ почти всюду, если P(w: ξn(w)ξ(w)) = 1. A = {(w:ξn(w)ξ(w))} = ∩<k=1, inf>U<N=1, inf>∩<n=N, inf>(w:|ξn(w) – ξ(w)| < 1/k) или что тоже самое A = (w: для любого k Є N, существует N: для любого n >= N  |ξn(w) – ξ(w)|<1/k). Те определение – P(A) = 1. Последовательность {ξn} называется сходящейся к ξ в среднем порядка a >0, если lim<ninf>|E(ξn – ξ)|^a = 0. Последовательность сходится по распределению, если Fξn(x)  Fξ(x), и в любой точке Fξ(x) непрерывна. Последовательность случайных величин сходится слабо, если для любой непрерывной и ограниченной функции h верно lim<ninf>Eh(ξn) = Eh(ξ). Покажем импликации. 1) Из сходимости в среднем следует сходимость по вероятности. По неравенству Маркова: P(|ξn-ξ| > eps) = P(|ξn-ξ|^a > eps ^a) <= E|ξn – ξ|^a/eps^a --> 0 (n-->inf). ЧТД. Из сходимости почти всюду следует по вероятности. Рассмотрим Bn = &<k=N, inf>(w:|ξn(w) – ξ(w)| < 1/k). Эта последовательность монотонна, те lim <N-->inf>BN = U<n-1, inf>Bn. Из непрерывности вероятности lim<N-->inf>P(BN) = P(U<n=1, inf>Bn) = P(U<N=1, inf>&<n=N, inf>(w:|ξn(w) – ξ(w)| < 1/k))= 1. Наконец 1 >= P(|ξn – ξ| < 1/k) >= P(&<n=N, inf>(|ξn – ξ| < 1/k)) --><n-->inf>1, ЧТД. Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость. |Eh(ξn) – Eh(ξ)| <= E|h(ξn) – hξ| = $<Q>|h(ξn(w)) – h(ξ(w))|P(dw). Разбиваем на два интеграла, где h(ξn(w)) – h(ξ(w)) > eps и наоборот. Подобрав eps и используя непрерывность получаем ЧТД. Эквивалентность слабой сходимости и сходимости по распределению принимаем без док-ва.