24. Критерии согласия Колмогорова и χ - квадрат.

Выборка X1,…,Xn имеет распределение F(x) из семейства распределений J = {F(x)}. Требуется проверить гипотезу H0: F(x) = F0(x). Непараметрический критерий Колмогорова основан на статистике: Dn(X) = sup<X>|Fn(x) – F0(x)|, F0(x) – непрерывная функция распределения, а Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1,…Xn. Из того, что если ξ – случайная величина, Fξ(x) - непрерывна, то случайная величина η = Fξ(ξ) равномерно распределена на [0, 1], следует что при F0(x) = t вероятность P(Dn(X) < t) не зависит от O и F0(x). Т Колмогорова: для любой непревной функции F(x), x >0 выполняется lim<ninf>P(sqr<2>(n)Dn(X) < t) = K(t) = Σ<-inf, inf>(-1)^je^(-2j^2t^2). На основе этого предельного соотношения строится непараметрический критерий Колмогорова. Пусть ja – a-квантиль предельного распределения K(t). Тогда 1- K(ja) = a или P(sqr<2>(n)Dn(X)>=ja|H0 = a). Тогда гипотеза о том, что выборка взята из распределения с функцией F0(x) принимается, если sqr<2>(n)Dn(X) <= ja и не принимается иначе. Уровень значимости этого критерия примерно a. Критерий y-квадрат. Пусть имеется выборка X1,…,Xn и требуется проверить гипотезу H0: F(x) = F0(x). Разобьем числовую прямую на m промежутков. Обозначим vk – число наблюдений попавших в дk. Тогда если ξi(k) = I(Xi Є дk), то vk = Σ<i=1, n>ξi(k). При этом имеет место сходимость vk/n <ninf>P(X1 Є дk) = $<дk>dF0(x) = pk. Строится статистика y^2 = Σ<i=1, m>(vi-npi)^2/npi. Если фиксировать a – вероятность ошибки первого рода, то гипотеза H0 отвергается, если Y^2 > a и принимается в противном случае. При этом Ka ищется из P(Y^2 > Ka|H0) = a. Для решения уравнения используется следующее предельное соотношение: lim<ninf>P(Y^2 < t) = Gm-1(t), где Gm-1(t) – функция распределения Y^2 с m-1 степенью свободы. При этом по определению случайная величина ξ имеет распределение Y-квадрат с k степенями свободы, если P(ξ < t) = P(η1^2+…+ηk^2 < t), ηi ~ N(0, 1). Плотность этого распределения определяется формулой p(x) = {e^(-x/2)x^(n/2 – 1)/2^(n/2)Г(n/2) x>0; 0, x <= 0} и является частным случаем Г-распределения p(x, L, a) = {a^Lx^(L-1)e^(-ax)/Г(L), x > 0; 0, x<= 0} при a= ½, L = n/2.

Билеты по курсу «теория вероятностей и математическая статистика»

Билет 1.

1. Вероятностное пространство. Операции над событиями. Свойства вероятности.

2. Критерии согласия Колмогорова и χ - квадрат.

Билет 2.

1. Условная вероятность. Независимость событий. Критерий независимости. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2. Проверка гипотез. Лемма Неймана-Пирсона.

Билет 3.

1. Случайные величины. Критерии измеримости функций от случайных величин.

2. Доверительные интервалы. Методы центральной случайной величины и использования точечной оценки.

Билет 4.

1. Функция распределения, ее свойства. Дискретные, сингулярные и абсолютно непрерывные функции распределения и случайные величины. Плотность распределения. Теорема Лебега о разложении функции распределения.

2. Метод моментов. Свойства оценок, полученных методом моментов.

Билет 5.

1. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, моменты, квантили, медиана. Их свойства.

2. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия.

Билет 6.

1. Числовые характеристики случайных величин: дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства.

2. Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова. Оптимальность оценок являющихся функцией полной достаточной статистики.

Билет 7.

1. Совокупности случайных величин, случайные векторы. Совместная функция распределения. Независимость случайных величин. Критерии независимости.

2. Неравенство Рао-Крамера. Эффективные оценки.

Билет 8.

1. Виды сходимости последовательностей случайных величин.

2. Функция правдоподобия. Достаточные статистики, полные статистики. Критерий факторизации.

Билет 9.

1. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

2. Точечная оценка. Несмещенность, состоятельность.

Билет 10.

1. Неравенство Иенсена.

2. Порядковые статистики. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Их свойства.

Билет 11.

1. Характеристические функции и их свойства. Закон больших чисел в форме Хинчина.

2. Выборочные моменты. Их асимптотическая нормальность.

Билет 12.

1. Центральная предельная теорема.

2. Статистическая структура. Выборка. Статистика.

Билет 13.

1. Условное математическое ожидание.

2. Выборочные моменты. Их асимптотическая нормальность.

Билет 14.

1. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

2. Критерий согласия χ-квадрат.