22. Доверительные интервалы. Методы центральной случайной величины и и использования точечной оценки.

Будем рассматривать случай одномерного параметра. Под термином интервал будем понимать некоторое мн-во. Доверительным интервалом с коэффициентом доверия 0 <= a <= 1 будем называть совокупность двух статистик (T1(X), T2(X)) таких, что: 1) для любого O  T1(X) <= T2(X) почти всюду. 2) Для любого O  PO(T1(X) <= O <= T2(X)) >= a (иногда = или >). При таком определении точность оценивания есть длина интервала, а надежность – вероятность попадания в этот интервал. Метод центральной статистики. Рассмотрим случай выборки X1,.., Xn, когда функция распределения F(X, O) непрерывна по X. Функция называется центральной статистикой, если 1) G(X, O) непрерывна и строго монотонна по O при любом фиксированном X. 2) PO(G(X, O)<t) = F(t) – непрерывна для любого O (не зависит от O). Тогда доверительный интервал можно определить так 1) фиксируем a1, a2 такие, что PO(a1 <= G1(X, O)<= a2) = a, для любых O  F(a2) – F(a1) = a. Пусть G(X, O) возрастает, тогда из условий {G(X, O) <= a2; G(X, O) >= a1}. Находятся статистики {T2(X):G(X, T2(X)) = a2; T1(X): G(X, T1(X)) = a1}. Откуда PO(T1(X) <= O <= T2(X)) >= a, для любого O. Центральным доверительным интервалом с коэффициентом доверия 0 <= a <= 1 называется совокупность статистик (T1(X), T2(X)) таких, что PO(T1(X) > O) = (1-a)/2, PO(T2(X) < O) = (1-a)/2. Метод использования точечной доверительной оценки. Пусть T(X) – точечная оценка O. Обозначим H(t, O) = PO(T(X) < t). H(t, O) – непрерывная и строго монотонная функция O при любом фиксированном t. В этом случае {PO(T(X)>a1(O)) = (1-a)/2; PO(T(X) < a2(O)) = (1-a)/2}  {1-H(a1(O) + 0, O) = (1-a)/2; H(a2(O), O) = (1-a)/2)}. Лемма: Если H(t, O) возрастает по O, то a1(O) и a2(O) убывают. Если же H(t, O) убывает по O, то a1(O) и a2(O) возрастают. Док-во: Пусть H(t, O) возрастает. Пусть O1 < O2 и предположим, что a2(O1) <= a2(O2). Учитывая, что H(t, O), как и всякая функция распределения, не убывает по первому аргументу получаем: (1-a)/2 = H(a2(O1), O1) <= H(a2(O1), O2) < H(a2(O2), O2) = (1-a)/2. Получено противоречие. ЧТД. Из Леммы получаем a1(O) < T(X)  O > h1(T(X))  PO(O > h1(T(X))) = (1-a)/2, a2(O) > T(X)  O <h2(T(X))  PO(O < h2(T(X))) = (1-a)/2. Получаем  PO (h2(T(X)) <= O << h1(T(X))) = a.

23. Проверка гипотез. Лемма Неймана-Пирсона.

Гипотезы. Пусть X1,…, Xn – выборка с распределением F(X,O), где O Є Ξ Є R. В этом случае любое Ξ0 Є Ξ соответствует гипотезе: Ξ0  H0: O Є Ξ0 – основная гипотеза, Ξ1  H1: O Є Ξ1 – альтернатива, Ξ0 ∩ Ξ1 – пустое. Гипотеза Ξ0 называется простой, если она состоит из одной точки O0 и сложной в противном случае. Пусть h(X) = h(X1,…,XN): 0<=h(X)<=1 – критическая функция, при этом по определению h(X) – вероятность отвергнуть основную гипотезу при выборке X1…Xn, Ошибкой первого рода - H0 верна, но мы её отвергаем. Ошибка второго рода – наоборот. Вероятность ошибки первого рода: EOh(X) = a(O), O Є Ξ0. Функцией мощности называется b(O) = EOh(X), O Є Ξ1 – вероятность принятия правильного решения, в случае верности альтернативной гипотезы. Вероятность ошибки второго рода - 1- b(O). Если критерий не принимает иных значений, кроме 0 и 1, то он называется нерандомизированным, если есть хотя бы одно значение между 0 и 1, то он рандомизированный. Размер критерия – наибольшая вероятность ошибки первого рода max<O Є Ξ0>a(O) = a. Критерий называется равномерно наиболее мощным критерием размерности a, если 1) max<O Є Ξ0>EOh(X) = a; 2) для любого критерия h* той же размерности a и для любого O Є Ξ1  EOh(X) >= EOh*(X). Лемма Неймана-Пирсона: Пусть выборка X1,…,Xn – имеет функцию распределения F(X, O), где O Є Ξ Є R и функцию правдоподобия L(X, O). Введем класс Q критических функций: относительно двух простых гипотез H0: O = O0, H1: O = O1 ≠ O0, 0 < a < 1, где a – заданный размер критерия, Ka – некоторое значение: Q = {h: h(X) = {1, L(X, O1)/L(X, O0) > Ka; 0, L(X, O1)/L(X, O0) < Ka}}. Отметим, что класс включает в себя все функции, удовлетворяющие указанным условиям и принимающие при L(X, O1)/L(X, O0) = Ka – любые значения. Отметим так же, что для разных значений Ka соответствующе классы Q могут быть разными. Тогда: 1) для любого 0 < a< 1  существует h Є Q: EO0h(X) = a (Существует критерий любого размера). 2) Если h Є Q и EO0h(X) = a, то h – наиболее мощный критерий. 3) Если h – наиболее мощный критерий размера a, то h Є Q. (Док-во: ушаков со страницы 67, огромное атас).