Правила знаков для напряжений и внутренних сил

Продольная сила N является положительной, если она растягивает стержень.

Крутящий момент Т считается положительным, если он стремиться повернуть балку против часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны продольной оси.

При изгибе с одной стороны волокна растягиваются, с другой сжимаются. Внутри балки будет слой, который не растягивается и не сжимается – нейтральный слой.

Момент Мх считается положительным, если он растягивает волокна балки с положительной координатой у. Аналогично с Му.

Н ормальное напряжение σ считается положительным, если оно направлено от сечения, т.е. вызывает растяжение.

В сечении, нормаль к которому направлена в сторону оси Oz, по­ложительные касательные напряжения τ_Х , τy действуют в сторону осей Ох, Оу, соответственно (рис).

В сечении, нормаль к которому направлена в сторону противопо­ложную оси Oz, положительные касательные напряжения τ_Х , τy дей­ствуют, соответственно, в стороны, противоположные осям Ох, Оу (рис.).

П оперечные силы Qx, Qy будут положительными, если в сечении, нормаль к которой совпадает с направлением оси Oz, они направлены в сторону положительного направления осей Ох, Оу, соответственно (рис. ).

В сечении, нормаль к которому направлена противоположно оси Oz (рис. ), положительные поперечные cum Qx, Qy, направле­ны в стороны, противоположные осям Ох, Оу.

Рама - стержневая система, составленная из прямолинейных стержней жестко соединенных между собой.

Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом Мх, поперечной силой Qy и распределенной нагрузкой q.

В ырежем из балки элемент длиной dz. В левой части элемента будут действовать изгибающий момент Мх, поперечная сила Qy. В правом сечении действуют Mx+dMx, Qy+dQy. Момент и сила получили приращение. Составим уравнение равновесия:

П ренебрегая подчеркнутыми бесконечно-малыми величинами получим:

Следствия из дифф. Зависимости величин Mx,Qy,q.

1. В сечении, где Qy=0; Mx принимает экстремальные значения (min или max). dMx/dz=0 – условие экстремальности.

2. На участке, где Qy>0, изгибающий момент увеличивается и на оборот. dMx/dz>0.

3. На участке, где q=const, Qy изменяется по линейному закону; Мх – по параболе.

Если q=const, то из (1) получаеться: Qy=-qz+c1 Подставляем (2):

dMx/dz=-qz+c1

Mx=-q*((z^2)/2)+c1*z+c2

Эти условия используются для проверки правильности построения эпюра Qy и Mx.

3. Растяжение и сжатие стержней

Если в конструкциях возникает только один внутренний силовой фактор, то такой случай нагружения называются про­стыми. К простому виду нагружения относится растяжение (сжатие) стержня, при котором в его поперечном сечении возникает единст­венный внутренний силовой фактор - продольная (нормальная) сила N.

Осевым растяжением (сжатием) стержня называется вид нагру­жения, при котором возникает только продольная сила N.

Величины внутренних сил находят с использованием метода сече­ний и принятого правила знаков.

Р ассмотрим стержень растянутый силами, равномерно распределенными по торцам. Если нанести на поверхность стержня сетку, то после деформации (растяжения) линии останутся прямыми и взаимноперпендикулярными. Следовательно деформации и напряжения во всех сечениях будут одинаковыми и в сечении σ=const →

→ N= *A

σ=N/A – нормальное напряжение при растяжении и сжатии стержня.

Полученные результаты применимы и для сжатых стержней, при деформировании которых, в отличии от растянутых, продольная си­ла отрицательна.

Описанная кар­тина деформирования стержня соответствует гипотезе плоских сече­ний, впервые высказанной голландским ученым Д. Бернулли. Соглас­но этой гипотезе поперечные сечения стержня, плоские до деформа­ции, остаются плоскими и после деформации.

Как показывают опыты, при растяжении длина стержня увеличива­ется, а поперечные размеры уменьшаются (рис). При сжатии - наоборот, стержень становится короче, а поперечные размеры увели­чиваются.

∆L =L1-L- удлинение стержня

∆b=b1-b- изменение поперечного размера

Относительная продольная деформация ε и относительная поперечная деформация ε' вычисляются по формуле: ε=∆L/L; ε'= ∆b/b

Отношение относительной поперечной деформации ε' к относи­тельной продольной деформации ε, взятое по модулю, называется ко­эффициентом Пуассона: или |∆b/∆L|.

Величина v является постоянной для изотропного материала и опре­деляется экспериментально.

Значения v для различных материалов изменяются в пределах 0< V <0,5. 0,3 – сталь, 0,5 – резина, 0 – пробка.

В пределах малых удлинений, для многих материалов справедлив закон Гука:

σ=E*ε

Нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорцио­нальны относительной продольной деформации.

Коэффициент пропорциональности Е в формуле называется модулем упругости (модулем Юнга). Величина Е является постоян­ной для любого изотропного материала, которая определяется опыт­ным путем и характеризует его жесткость, т.е. способность сопротив­ляться деформированию под действием продольных сил.

Подставляя выражения ε=∆L/L, σ=N/A получим: ∆L=NL/EA – удлинение стержня при растяжении и сжатии. Величина ЕА называется жесткостью стержня при растяжении- сжатии.

Коэффициенты Е и v являются основными характеристиками уп­ругости изотропного материала.