1. Кинематика

§ 1.1.Кинематика материальной точки.

Основные определения:

• Уравнение движения материальной точки:

, (1.1а)

где − её радиус-вектор, x, y, z – проекции радиус-вектора на декартовые оси координат. Единичные векторы этих осей (орты) обозначены, как и соответственно.

• Средние векторы скорости и ускорения материальной точки, соответственно:

(1.1б)

, (1.1в)

где - перемещение (приращение радиус-вектора).

• Скорость и ускорение материальной точки:

(1.1г)

(1.1д)

• Проекции ускорения на касательную и нормаль к траектории:

(1.1е)

(1.1ж)

где - модуль скорости точки, ρ – радиус кривизны траектории.

• Путь, пройденный точкой (длина траектории):

(1.1з)

• Если и − скорости двух точек, то скорость второй точки относительно первой:

(1.1и)

1. Вектор изменил своё направление на обратное. Найти:

2. Каким условиям должны удовлетворять векторы для того, чтобы выполнялись соотношения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ?

3. Задан вектор . Найти его проекцию на ось l, лежащую в плоскости (x,y). Известно, что направление этой оси образует угол с осью x.

4. Написать выражение для косинуса угла между векторами и с компонентами

5. Пусть ─ радиус-вектор частицы, движущейся в плоскости xy. Что можно сказать о её траектории, если: а) меняется только по модулю, не меняя направление на противоположное; б) меняется только по модулю и может менять направление на противоположное; в) меняется только по направлению; г) меняется только проекция на ось x?

6. Частица 1 движется со скоростью частица 2 – со скоростью (A и B – константы). Найти скорость второй частицы относительно первой и модуль этой скорости.

7. Скорость пловца относительно воды равна 2м/с и он держит курс перпендикулярно берегам. Найти: а) величину скорости пловца относительно берега; б) угол между линией берега и вектором этой скорости; в) расстояние вдоль берега, на которое течение снесёт пловца, переплывающего реку. Скорость течения воды в реке 1,5м/с. Ширина реки 60м.

8. Моторная лодка развивает относительно воды скорость V = 5м/с. Вода течет с одинаковой по всей ширине реки скоростью U = 0,5м/с. Ширина реки АБ, как и расстояние между сваями В и Г равны l =1км (рис.1.1). а) Под каким углом α относительно отрезка АБ лодка на держать курс, чтобы двигаться вдоль этого отрезка? б) Какое время будет затрачено на прохождение пути от т.А до т.Б и обратно? в) То же для пути от т.В до т.Г и обратно.

1. Н ачальная скорость частицы (м/с), конечная (м/с). Найти: а) приращение скорости; б) модуль приращения скорости; в) приращение модуля скорости.

1. Частица ударяется о стенку и упруго отражается от неё так, что угол падения α равен углу отражения β (Рис. 1.2). Найти и , если − это скорость частицы перед ударом.

1. Уравнение движения частицы, находящейся на оси x, имеет вид: где A=1м,B = 4м/с, C = − 0,5м/с³. Найти: а) проекцию мгновенной скорости частицы и её ускорения на ось x в момент времени t = 2с; б) проекцию перемещения; в) среднее значение проекций скорости и г) ускорения за время .

1. Радиус-вектор частицы определяется выражением: (м). Вычислить: а) путь S, пройденный частицей за время , б) модуль перемещения .

1. Радиус-вектор частицы, движущейся в плоскости xy, определяется выражением: (м). Определить для момента времени t =2с значения физических величин: а) скорости частицы и модуля скорости , б) ускорения и модуля ускорения , в) угла α между векторами и , г) тангенциального и нормального ускорения, д) радиуса кривизны траектории.

9. Радиус-вектор частицы, движущейся в плоскости xy, определяется выражением: . Определить: а) уравнение траектории частицы и изобразить траекторию на плоскости xy, б) скорость частицы и её модуль в произвольный момент времени, в) ускорение и модуль ускорения в произвольный момент времени.

2. Двигаясь равномерно со скоростью , частица прошла половину окружности радиусом R . Определить: а) модуль средней скорости частицы , б) модуль её среднего ускорения , в) средний модуль ускорения .

3. Частица движется равномерно по окружности радиусом R, делая за время τ один оборот. Найти величину средней скорости точки за промежуток времени: а) от 0 до τ/4, б) от 0 до τ/2, в) от 0 до 3τ/4.

1. Первоначально покоившаяся частица прошла за с полторы окружности радиусом R =5м с постоянным тангенциальным ускорением. Вычислить: а) средний модуль скорости, б) модуль средней скорости, в) модуль среднего ускорения.

1. Автобус (А) движется по шоссе со скоростью u (рис.1.3). Под каким углом к направлению БВ следует бежать человеку (точка Б), находящемуся на расстоянии L от шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? При каком минимальном расстоянии АВ человек успеет сделать это? Скорость человека V < u.

4. С башни высотой H =25м горизонтально брошен камень со скоростью =15м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти: а) время полёта t; б) расстояние s места падения камня от подножия башни; в) величину скорости камня V; г) угол α между вектором скорости и горизонтом в конце полета.

5. Найти нормальное и тангенциальное ускорения камня из предыдущей задачи через одну секунду после начала полёта.

1. Тело брошено со скоростью V₀ под углом θ к горизонту. Чему равен радиус кривизны траектории тела а) в начале движения; б) в верхней точке? Сопротивлением воздуха пренебречь.

6. Под каким углом к горизонту следует бросить тело, чтобы дальность его полёта равнялась максимальной высоте траектории? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое – под углом θ = 60⁰ к горизонту. Начальная скорость каждого тела = 25,0м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t =1,70с.

1. Две частицы движутся в поле тяжести Земли. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости = 3,00м/с и = 4,00м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей взаимно перпендикулярны. Сопротивление воздуха не учитывать.

1. Футболист забивает гол с расстояния L = 11м от ворот, высота которых H =2,5м. Какую минимальную скорость V_мин необходимо сообщить мячу, чтобы он попал точно под перекладину? Под каким углом α к горизонту должен быть направлен вектор этой скорости? Сопротивление воздуха не учитывать.

1. Между целью и минометом, находящимися на одной высоте, расположена стена высотой H . Расстояние от миномёта до стены равно l, а от стены до цели L . Определить минимальную величину начальной скорости мины V_мин, необходимую для поражения цели. Под каким углом α к горизонту следует стрелять? Проанализировать зависимость решения от значения высоты стены.