4. Молекулярная физика и теплота

§ 4.1. Равновесные распределения молекул.

Основные определения:

• Средняя квадратичная скорость N частиц:

. (4.1а)

• Масса молекулы , где - молярная масса, – число Авогадро.

• Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа:

, (4.1б)

где температура газа, постоянная Больцмана, R – газовая постоянная.

• Средняя энергия теплового движения молекул (без учета колебательных степеней свободы молекул.)

, (4.1в)

где число степеней свободы ( = 3, – число вращательных степеней свободы молекул).

• Частота ударов молекул газа о единицу поверхности стенки:

, (4.1г)

где - их средняя скорость, − концентрация молекул, занимающих объем V

• Функции распределения Максвелла:

; (4.1д)

. (4.1е)

• Доля молекул с проекциями скоростей : ; Доля молекул с величинами скоростей : ;

• Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:

; ; . (4.1ж)

• Распределение Больцмана:

, (4.1з)

где U – потенциальная энергия молекулы.

1. Частицы вещества распределены по объему в среднем равномерно. Известна концентрация частиц . Оценить среднее расстояние между частицами.

2. Оценить среднее расстояние между: а) молекулами идеального газа при нормальных условиях; б) молекулами воды. Плотность воды г/см³.

3. Вычислить расстояние a между ближайшими ионами натрия и хлора в кристалле поваренной соли. Плотность кристаллической поваренной соли г/см³, элементарная ячейка поваренной соли – кубическая.

4. Шарик радиусом R находится в идеальном газе, масса молекул которого . Вычислить число столкновений молекул с шариком за 1 секунду, если давление и температура газа известны.

5. Допустим, что потенциальная энергия парного взаимодействия молекул в газе имеет вид: , где − расстояние между центрами молекул, − положительная постоянная. Полагая, что массы и скорости всех молекул равны по величине и считая температуру газа известной, оценить минимальное расстояние, на которое могут сблизиться молекулы.

6. Как средняя скорость относительного движения одинаковых молекул связана со средней скоростью их движения по отношению к стенкам сосуда ?

5. Известны давление и температура идеального газа, а также, эффективный диаметр и масса его молекул. Определить: а) среднее время между двумя столкновениями какой-либо либо молекулы с другими молекулами газа; б) среднее расстояние , которое молекула преодолевает между двумя столкновениями (длину свободного пробега).

5. Определить: а) время и б) длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях, приняв значение эффективного диаметра молекул .

5. Вычислить при температуре С: а) среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода ( ); б) то же для капельки воды диаметром мкм, взвешенной в воздухе.

5. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре = 300 К. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость молекулы, если её главный момент инерции кг∙м².

6. Определить для равновесного газа: а) ; б) долю молекул с проекцией скорости .

7. Чему равна доля тех молекул равновесного газа, чей вектор скорости расположен в пределах телесного угла ?

5. Построить график функции распределения . Как с его помощью вычислить долю молекул, чьи проекции скоростей принадлежат интервалу значений ?

5. Построить график функции распределения . Отметить на графике значения наиболее вероятной , средней и среднеквадратичной скорости молекул . Как с его помощью вычислить долю молекул, чьи скорости принадлежат интервалу значений ? Нормирована ли функция распределения на единицу?

6. Некоторый газ находится в равновесном состоянии. Какой процент молекул газа обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на 1%?

7. Написать выражение, определяющее относительную долю молекул газа, обладающих скоростями, превышающими наиболее вероятную скорость .

8. Азот ( ) находится в равновесном состоянии при = 421 К. Вычислить наиболее вероятную скорость его молекул .

9. Определить относительное число молекул азота из предыдущей задачи, скорости которых заключены в пределах: а) от 499,9 до 500,1 м/с; б) от 249,9 до 250,1 м/с; в) от 749,9 до 750,1 м/с; г) от 999,9 до 1000,1 м/с.

10. Считая атмосферу изотермической (T = 293 К), а ускорение свободного падения g не зависящим от высоты, вычислить равновесное атмосферное давление а) на высоте 5км; б) на высоте 10км; в) в шахте на глубине 2км. Атмосферное давление на уровне моря Па.

11. Чему равна масса пылинок, взвешенных в атмосфере, если их равновесная концентрация на высоте h = 100м в = 400000 раз меньше, чем вблизи поверхности Земли? Температуру на всех высотах считать одинаковой и равной T = 273 К.

12. В опыте по определению постоянной Авогадро Перрен использовал взвесь шариков гуммигута в воде. Температура взвеси составляла С, радиус шариков r = 0,212мкм. Плотность гуммигута и воды равны, соответственно, г/см³ и г/см³. При перемещении тубуса микроскопа на мкм число шариков, наблюдавшихся в микроскоп, изменялось в =2,1 раза. Исходя из этих данных, найти . Глубина резкости микроскопа невелика по сравнению с .

13. Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле зависит от расстояния до центра поля как , где − положительная постоянная. Температура газа T , концентрация молекул в центре поля . Найти: а) число молекул, находящихся в интервале расстояний ; б) наиболее вероятное расстояние молекул от центра поля; в) относительное число всех молекул в слое ; г) во сколько раз изменится концентрация молекул в центре поля при уменьшении температуры в раз.