§ 3.3 Неподвижные оси вращения.

Основные законы и определения:

• Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси z с угловой скоростью , проекция момента импульса тела на ось z:

(3.3а)

Здесь J - момент инерции тела относительно оси z.

• В случае, когда ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции твердого тела, момент импульса тела:

(3.3б)

• Уравнение динамики твердого тела в проекции на закрепленную ось:

, (3.3в)

где - результирующий момент всех действующих на тело сил относительно оси z.

• Изменение проекции момента импульса на ось z за время :

, (3.3г)

где - средний за время момент сил относительно оси z.

• Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси:

(3.3д)

• Работа момента силы при повороте тела на угол φ:

. (3.3е)

• Мгновенная мощность, развиваемая моментом силы:

. (3.3ж)

2. Маховик в форме сплошного диска, момент инерции которого J = 150кгּм², вращается с частотой n = 240об/мин. Через t = 1мин после выключения двигателя маховик останавливается. Определить: а) момент M сил торможения; б) число оборотов маховика от начала торможения до остановки.

3. Вентилятор вращается с частотой n = 600об/мин. После выключения он начинает вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, останавливается. Известно, что работа A сил торможения равна 31,4Дж. Определить: а) момент M сил торможения; б) момент инерции J вращающейся части вентилятора.

4. Маховик в форме сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5кгּм², вращаясь равнозамедленно, за время t = 1мин уменьшил частоту своего вращения с n_{0 = 240об/мин до} n_{1 = 120об/мин. Определить: а) угловое ускорение β маховика; б) момент} M сил торможения; в) работу торможения A.

5. Д вум одинаковым маховикам, закрепленным на неподвижных осях, сообщили одинаковую угловую скорость ω = 20∙π рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения первый маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз?

6. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5м приложена постоянная касательная сила F = 100Н. При вращении диска вокруг неподвижной оси, на которой он закреплен, на него действует момент сил трения =2 (Нּм). Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16рад/с².

7. Блок радиусом R закреплен на неподвижной оси О; его момент инерции относительно этой оси равен J. В случае, изображенном на рисунке 3.9а, он приводится во вращение грузом массой m = 2кг, а во втором случае (рис. 3.9б) – постоянной силой F = 19,6Н. Сравнить угловые ускорения блока β₁ и β₂.

8. На блок радиусом R = 50см намотан невесомый и нерастяжимый шнур, к которому привязан груз массой m = 10кг. Найти момент инерции блока, если известно, что груз опускается с ускорением 2,8м/с².

9. Н а блок радиусом R = 20см и моментом инерции J = 0,1кгּм² намотан невесомый и нерастяжимый шнур, к которому привязан груз массой m = 0,5кг. В начале движения высота груза над полом равна h = 1м. Найти: а) время t падения груза; б) кинетическую энергию T груза; в) момент импульса L блока относительно т.О во время удара о пол.

1. Ч ерез блок цилиндрической формы массой m = 1кг перекинут шнур, к концам которого прикреплены грузы массами = 1кг и = 2кг (рис.3.10). Найти: а) ускорение грузов; б) силы натяжения шнура и . Считать шнур невесомым и нерастяжимым. Проскальзывание шнура относительно блока и трение в оси блока отсутствуют.

10. Невесомый стержень длиной с двумя грузами, массами каждый, закреплен на оси так, что центр масс отстоит от этой оси на расстоянии (рис.3.11). Чему равна суммарная величина силы реакции F в подшипниках П, если угловая скорость вращения стержня равна ω? Силой тяжести грузов пренебречь.

11. Ц ентр масс системы, состоящей из невесомого стержня длиной и двух грузов массами каждый, расположен на оси вращения . Стержень закреплен так, что угол между ним и осью вращения равен α (рис.3.12). Угловая скорость вращения стержня равна ω. Чему равна величина момента сил реакции M в подшипниках П? При каком значении α момент сил реакции в подшипниках максимален?

12. Н а ступенчатом блоке (рис.3.13) закреплены и намотаны в противоположном направлении две нити. Одну нить тянут с постоянной силой , а к другой нити прикреплен груз массы m. Значения R₁, R₂ и момента инерции блока J известны. Трения нет. Найти угловое ускорение блока.

13. В системе (рис.3.14) известны массы грузов m₁ и m₂, коэффициент трения μ между телом m₁ и столом, а также m – масса блока, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку отсутствует. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока найти перемещение Δx тела m₁ за первые t секунд после начала движения.

14. В установке, изображенной на рисунке 3.15, угол наклона плоскости к горизонту равен 30˚, массы тел m₁ =1,5кг, m₂ =1кг. Считая блок однородным сплошным цилиндром массы m =0,5кг, определить: а) ускорение грузов; б) силы натяжения нити и . Коэффициент трения между наклонной плоскостью и лежащим на ней грузом μ =0,1.

15. Однородный стержень длиной l может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его верхний конец (рис.3.16). Стержень отклонили на угол и отпустили. Найти скорость нижнего конца стержня, как функцию угла α.

1. Однородный невесомый стержень длиной l может свободно вращаться во всех направлениях относительно шарнира, прикрепленного к потолку. На стержне закреплены два одинаковых груза массы m на расстояниях и от шарнира (рис.3.17). Стержень привели во вращение относительно вертикальной оси так, что он описывает в пространстве конус с углом при вершине α. Определить угловую скорость ω вращения стержня. Проанализировать полученный результат.

16. У равнение движения маховика с моментом инерции J =20кг∙м², закрепленного на оси z, имеет вид: (рад). Чему равен момент внешних сил , действующих на маховик, в момент времени t = 2с?

1. На первоначально покоившийся маховик, момент инерции J которого равен 2кг∙м², начинает действовать момент сил Н∙м. Определить: а) момент импульса маховика через t = 6 секунд после начала движения; б) число N оборотов маховика за это время.

2. Вертикально расположенный однородный стержень массой m₁ и длиной l может без трения вращаться вокруг своего верхнего конца в вертикальной плоскости. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массой m_{2 <<} m₁ В результате этого стержень отклонился на угол α.. а) Найти скорость пули перед ударом. б) Вычислить приращение импульса системы «пуля – стержень». В чем состоит причина изменения этого импульса? в) На какое расстояние x от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы не изменился в процессе удара?

1. Человек массой m₁ стоит на краю горизонтального однородного диска массой m₂ и радиусом R, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил полный оборот относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол поворота диска к моменту остановки человека.

1. Д ва горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны и , а угловые скорости − и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти: а) установившуюся угловую скорость вращения дисков; б) работу, которую совершили при этом силы трения.

3. Однородный цилиндр радиусом R раскрутили вокруг его оси О до угловой скорости и затем поместили в угол (рис.3.18). Коэффициент трения между цилиндром и стенками равен μ. Определить: а) время t остановки цилиндра; б) число N оборотов, совершенных цилиндром до остановки.