1.3.А. Прямой поперечный изгиб
Задача №1 (схема а)
Определить реакции опор балки, поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и М. Найти размеры поперечного сечения.
Если известно, что для схемы а используется стальная круглая балка [σ]=160 МПа. Известны нагрузки F, Мо, q и d.
F=35 кН, d=1 м, М0=80 кН*м, q=20 кН/м
Решение:
Определяем для балки реакции опор из условия статического равновесия:
ΣM(Fkx)A = 0;
RB *4*d +F*2d -q*d*2*d – M0 = 0;
RB=12,5 кН;
ΣM(Fkx)B = 0;
- RA *4*d -Мо +F*2*d +q*2*d*3*d = 0;
RA = -7.5 кН;
2) Проведем проверку правильности определения реакций опор из условий равновесия статики как суммы сил ΣFy = 0:
RA + RB + F – q*2*d = 0;
-7.5 + 12.5 +35 – 20*2 = 0;
3) Составим выражения для поперечных сил Q на каждом участке балки, используя метод сечений:
Рассечем балку в произвольном сечении на участке I:
QI = - RB = -12.5 кН;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке II:
QII = - RB=-12.5 кН;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке III:
QIII = -F - RB+(x3)*q; 0≤ x3 ≤2d;
При x3=0, QIII = -12.5 –35 = -47.5 кН;
При x3=2d, QIII =-12.5 – 35 + 2*20 =-7.5 кН;
4) Составим выражения для изгибающих моментов М на каждом участке балки, используя метод сечений:
Рассечем балку в произвольном сечении на участке I:
MI = RB *x1, 0≤ x1 ≤d;
При x1=0 MI = 0;
При x1=d MI = 12.5*1 = 12.5 кН*м;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке II:
MII = RB *(d+x2) – M0, 0≤ x2 ≤d;
При x2=0 MII = -12.5*1-80 = -67.5 кН*м;
При x2=d MII = -12.5*2-80= -55 кН*м;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке III:
MIII = RB * (2d+x3 )- M0+F*x3 - q* x3 * x3\2; 0≤ x3 ≤2d;
При x3=0, MIII= 12.5*2 – 80+35*0 -q*0 = -55 кН*м;
При x3=2d, MIII = 12.5*(2+2) – 80+35*2-20*4/2 = 0 кН*м;
5) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учетом правил знаков Q и M на каждом участке балки.
6) По максимальному значению изгибающего момента в опасном сечении балки определяем размеры поперечного сечения из условия прочности при изгибе:
σmax = Mmax / Wz ≤ [σ], где
Wz – осевой момент сопротивления данного поперечного сечения, Wz = πD3/32, тогда диаметр балки, удовлетворяющий условию прочности:
Округлив в большую сторону до стандартного значения, получим:
D=162 мм
Расчетная схема круглой балки
1.3.Б. Прямой поперечный изгиб
Задача 1 (схема б)
Определить реакции опор балки, поперечные силы Q, изгибающие моменты M и построить эпюры Q и М. Найти размеры поперечного сечения.
Если известно, что для схемы б используется стальная балка из профильного проката при [σ]=140 МПа. Известны нагрузки F, Мо, q и d.
F=35 кН, d=1 м, М0=80 кН*м, q=20 кН/м
Решение:
1) Составим выражения для поперечных сил Q на каждом участке балки, используя метод сечений:
Рассечем балку в произвольном сечении на участке I, отбрасываем левую часть:
QI = 0 кН;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке II, отбрасываем левую часть:
QII ==q* x2 ; 0≤ x2 ≤d;
При x2=0, Q2 = 0 кН;
При x2=d, Q2 = 20*1 = 20 кН;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке III, отбрасываем левую часть:
QIII =F + q* d =35+20*1=55 кН
2) Составим выражения для изгибающих моментов М на каждом участке балки, используя метод сечений.
Рассечем балку в произвольном сечении на участке I, отбрасываем левую часть:
MI = M0 =80 кН
Рассечем балку в произвольном сечении на участке II, отбрасываем левую часть:
MII = M0 –q* x2 * x2 \2 0≤ x2 ≤d;
При x2=0 MII = M0 =80 кН*м;
При x2=d, MII = M0 –q*d*d\2=70 кН*м;
Рассечем балку в произвольном сечении на участке III, отбрасываем левую часть:
MIII = M0 - q* d * (d\2+x3 )-F*x3 ; 0≤ x3 ≤2d;
При x3=0, MIII= 80-20*0.5 = 70 кН*м;
При x3=2d, MIII = 80+20*5\2-70 = -40 кН*м;
3) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учетом правил знаков Q и M на каждом участке балки.
Расчетная схема прямоугольной балки
4) По максимальному значению изгибающего момента в опасном сечении балки определяем размеры поперечного сечения из условия прочности при изгибе:
σ = Mmax/Wz ≤ [σ], где
Wz – осевой момент сопротивления данного поперечного сечения,
Wz
=
По таблице берем значения:h=330,b=140,S=7